3
四、构造辅助线的常用方法： ❶关于角平分线的辅助线 当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
基础知识
与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型 OP 是∠MON 的角平分线
过点 P 向两边作垂线，构 截取 OB=OA，构成三角形 角平分线被垂直，顺势延长 角平分线+平行线得等腰
角两边 OA、OB 作垂线，垂足为 E、F，连接 DE、DF。 则有：DE=DF，△OED≌△OFD。
例题 2：如上右图所示，已知 AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180。
（3）作角平分线的垂线构造等腰三角形。 如下左图所示，从角的一边 OB 上的一点 E 作角平分线 OC 的垂线 EF，使之与角的另一边 OA 相交，则截
A
B
CE
D F
D
A
E
F
B
C
A
D
B
E
C
F
【旋转】
E
A
B
C
D
E B
D A
C
【折叠/对称】
A
A
E B
C
E
C
O
B
DB
D
A
DE
1
B
C
A C
DA
D
B
C
三、找全等三角形的方法： ①可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； ②可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； ③从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； ④若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。★
8、线段垂直平分线上的
10、等于同一线段的两线段相等
数形结合找条件【规律总结】
■已知两边
找另一边→SSS 找夹角→SAS 找直角→HL
■已知两角
找夹边→ASA 找除夹边外的任一边→AAS
■已知一边一角
找与边相邻的另一角→ASA 边为角的邻边 找边的对角→AAS
例题 1：如上右图所示，AB//CD，BE 平分∠BCD，CE 平分∠BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。 提示：在 BC 上取一点 F 使得 BF=BA，连结 EF。
（2）角分线上点向角两边作垂线构全等 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB 的平分线 OC 上一点 D 向
③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 ④有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
题目中只要得出“1 对边及 2 对角相等”，那就能证明三角 形全等，唯一要做的就是区分好是 ASA 还是 AAS
⑤直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
直角三角形全等的特殊证法。但当该方法不行时，前面的 4 种方法也能用来证明直角三角形全等。 如何找斜边：斜边是直角所对的边，只要找 90°的角所对的边就能找到斜边 二、全等三角形的性质： ①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ②全等三角形的周长、面积相等。 ③全等三角形的对应边上的高对应相等。 ④全等三角形的对应角的角平分线相等。 ⑤全等三角形的对应边上的中线相等。 几种常见全等三角形的基本图形： 【平移】
例题 4：已知，如图，在 Rt△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD 的延长线于 E,求证：BD = 2CE【提示：延长 CE 交 BA 的延长线于点 F】
成全等三角形
全等
造全等，则 P 是中点
三角形
图中有角平分线，可向两边 图中有角平分线，沿它对折 角平分线加垂线，“三线合 角平分线+平行线，等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中，BP，CP 分别为角平分线且交于点 P，探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
同一个三角形中，一个角是 90°，两条边相等→三角形是等腰直角三角形，两个底角为 45° 6.两直线互相垂直→以垂足为顶点的 4 个角都是 90° 7.同角（等角）的余角、补角相等 8.外角定理（最不容易想到，当题目无从下手时，就应该想一想外角定理） 9.两三角形全等→对应边、对应角、对应边上的高、对应边上的中线、对应角的角平分线、周长、面积等都相等
得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点 D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性 质与等腰三角形的三线合一的性质。
如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结 为：“延分垂，等腰归”。
5
例题 3：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD 于 D，H 是 BC 中点。 求证：DH= （AB-AC） 提示：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。
结论
BPC 90 1 A
2
BPC 90 1 A 2
1 BPC A
2
4
关于角平分线常用的辅助线方法： （1）截取构全等
如下左图所示，OC 是∠AOB 的角平分线，D 为 OC 上一点，F 为 OB 上一点，若在 OA 上取一点 E，使得 OE=OF，并连接 DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
数学培优方法总结 1-2
证明三角形全等（含线段相等、角相等）的几种方法
一、三角形全等的判定： ①三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。【最简单，考得也最少，考试过程中没有注意点】 ②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。【最常考，而且考试就考“角是不是两边夹角”】 当题目中得出“2 对边及 1 对角相等”时，一定要检查“角是不是两边夹角”。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。 ❶缺个角的条件：
1、公共角
2、对顶角
3、两全等三角形的对应角相等
4、等腰三角形
7、平行线 ❷缺条边的条件：
5、同角或等角的补角（余角）
6、等角加（减）等角
8、等于同一角的两个角相等
1、公共边
2、中点
3、等量和
4、等量差
5、角平分线性质
2
6、等腰三角形
7、等面积法
找角的另一边→SAS
边为角的对边→找任一角→AAS
■题目中的隐藏条件 1.公共边、公共角 2.对顶角 3.正方形→4 条边都相等、4 个角都是 90° 4.等边三角形（正三角形）→3 条边都相等、3 个角都是 60° 5.同一个三角形中，一个角是 90°，一个角是 45°→三角形是等腰直角三角形，两条腰相等。