2019年四川省南充高中自主招生数学试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共4小题，共24.0分）1.如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了()A. 4圈B. 3圈C. 5圈D. 3.5圈2.如果方程(x−1)(x2−2x+m)=0的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是()A. 0≤m≤1B. 34≤m C. 34≤m≤1 D. 34<m≤13.解关于x的方程xx−1−kx2−1=xx+1不会产生增根，则k的值是()A. 2B. 1C. k≠2且k≠一2D. 无法确定4.如图，AB、AC与⊙O相切于B、C，∠A=50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是()A. 65°B. 115°C. 65°和115°D. 130°和50°二、填空题（本大题共14小题，共112.0分）5.已知x满足3x2+2x−1−x2−2x=1，那么x2+2x=______．6.若|m+2|+(n−1)2=0，则m+2n值为______．7.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形，则ac=______ ．8.已知a n=(−1)n+1，当n=1时，a1=0，当n=2时，a2=2，当n=3时，a3=0，…，则a1+a2+a3+⋯+a2008=______．9.已知sinα<cosα，则锐角α的取值范围是______．10.直角三角形ABC中，∠C=90°且tanB=2tanA−1，则∠B=______．11.将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表．则a n)所剪次数1234…n正三角形个数471013…a n12. 已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x +y =m4x −3y =m +8的解满足x +y =3m ，则m =______．13. 设x 1、x 2是方程2x 2−4mx +2m 2+3m −2=0的两个实数根，当m =______时，x 12+x 22有最小值，最小值是______． 14. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电任选2台，其中两种品牌的彩电都齐全的概率是______． 15. 对于正数x ，规定f(x)=x1+x ，计算f(12008)+f(12007)+⋯+f(13)+f(12)+f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2007)+f(2008)=______．16. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4.若以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是______． 17. 若ab =1，则11+a 2+11+b 2的值为______．18. 如图AB 与圆O 相切于A ，D 是圆O 内一点，DB 与圆相交于C.已知BC =DC =3，OD =2，AB =6，则圆的半径为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 先化简，再求值：(1a−b −1a+b )÷ba 2−2ab+b 2，其中a =1+√2，b =1−√2四、解答题（本大题共4小题，共54.0分）20. 如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 所夹的锐角为θ，且∠BEG 与∠CFH 都是锐角，已知EG =a ，FH =b ，四边形EFGH 的面积为S ．(1)求证：sinθ=2Sab ；(2)试用a ，b ，S 来表示正方形ABCD 的面积．21.抛物线的解析式y=ax2+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=−4；a<b<c．(1)求这条抛物线的解析式；(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B(A在B的左边)，与y轴的交点为C.P是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S△AOD与S△DPC 的大小．22.如图△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB切于点E．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长；(3)设CD=a，试给出一个a值使⊙D与BC没有公共点，并说明你给出的a值符合要求．23.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在y轴上．(1)求m的值及这个二次函数的关系式；(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】解：设圆的周长是C，则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长= 4C，则这个圆共转了4C÷C=4圈．故选A．根据圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长=4C选择．注意正确分析圆所走过的路程，可以画出圆心所走过的路程．2.【答案】D【解析】解：∵方程(x−1)(x2−2x+m)=0有三根，∴x1=1，x2−2x+m=0有根，方程x2−2x+m=0的△=4−4m≥0，得m≤1．又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴有x2+x3>x1=1，|x2−x3|<x1=1，而x2+x3=2>1已成立；当|x2−x3|<1时，两边平方得：(x2+x3)2−4x2x3<1．即：4−4m<1.解得m>34．∴34<m≤1．故选：D．方程(x−1)(x2−2x+m)=0的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程x2−2x+m=0的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程x2−2x+m=0的两个根设是x2和x3，一定是两个正数，且一定有|x2−x3|<1<x2+x3，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3.【答案】C【解析】解：去分母得，x(x+1)−k=x(x−1)，解得x=12k，∵方程xx−1−kx2−1=xx+1不会产生增根，∴x≠±1，∴12k≠±1，即k≠±2．故选：C．先将分式方程化为整式方程，解得x=12k，根据题意可得x≠±1，从而求出k的值．本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4.【答案】C【解析】解：连接OC，OB，则∠ACO=∠ABO=90°，∠BOC=360°−90°−90°−50°=130°，应分为两种情况：①当点P在优弧BC上时，∠P=12∠BOC=65°；②当点P在劣弧BC上时，∠BPC=180°−65°=115°；故选C．连接OC，OB，当点P在优弧BC上时，由圆周角定理可求得∠P=65°，当点P在劣弧BC上时，由圆内接四边形的对角互补可求得∠BPC=115°.故本题有两种情况两个答案．本题利用了四边形的内角和为360度，圆周角定理，圆内接四边形的性质求解．5.【答案】2【解析】解：3x2+2x−1−x2−2x=1，设x2+2x=y，则原方程可化为3y−1−y=1，3−y(y−1)=y−1，y2=4，解得y1=2，y2=−2，经检验，y=±2是方程3y−1−y=1的解，当y1=2时，x2+2x=2，解得x=−1±√3，经检验，x=−1±√3是原方程的解；当y2=−2时，x2+2x=−2，此方程无实数解；∴x2+2x=2，故答案为：2．设x2+2x=y，则原方程可化为y2−4=0，解得y1=2，y2=−2，解方程可解答．本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．6.【答案】0【解析】解：根据题意得，m+2=0，n−1=0，解得m=−2，n=1，所以，m+2n=−2+2×1=0．故答案为：0．根据非负数的性质列式计算求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．本题考查了绝对值非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．7.【答案】−1【解析】解：设A(x1,0)，B(x2,0)，由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1⋅x2=ca<0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为(0,c)，由射影定理知，|OC|2=|AO|⋅|BO|，即c2=|x1|⋅|x2|=|ca|，故|ac|=1，ac=±1，由于ca<0，所以ac=−1．故答案为：−1．根据x轴上点的坐标特点可设出A、B两点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，根据△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，再由抛物线与y轴的交点可求出C点的坐标，由射影定理即可求出ac的值．本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据射影定理得到|OC|2=|AO|⋅|BO|是解答此题的关键．8.【答案】2008【解析】解：由已知可得a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2n−1+a2n=2，∵a1+a2+a3+⋯+a2008=1004(a1+a2)=2008，故答案为2008．由已知可得a1+a2=2，a3+a4=2，…，a2n−1+a2n=2，则有a1+a2+a3+⋯+ a2008=1004(a1+a2)，代入即可求解．本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的运算解题是关键．9.【答案】0°<α<45°【解析】解：由sinα<cosα，得0°<α<45°，故答案为：0°<α<45°．根据正弦函数值随锐角的增大而增大，可得答案．本题考查了锐角三角函数的增减性，余弦函数值随锐角的增大而减小，正弦函数值随锐角的增大而增大．10.【答案】45°【解析】解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，则tanB=ba ，tanA=ab，∴ba =2×ab−1，整理得，2a2−ab−b2=0，(2a+b)(a−b)=0，解得，a=b，∴∠B=45°，故答案为：45°．根据正切的定义得到tanB=ba ，tanA=ab，根据题意列出方程，解方程得到a−b，根据等腰直角三角形的概念解答．本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．11.【答案】3n+1【解析】解：剪n 次时，共有4+3(n −1)=3n +1个正三角形． 故答案为3n +1． 从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n 次时，共有4+3(n −1)=3n +1．此类题的属于找规律，从所给数据中，不难发现规律，再分析整理，得出结论．12.【答案】−13【解析】解：二元一次方程组{2x +y =m4x −3y =m +8的解为{x =25m +45y =15m −85， ∵x +y =3m ， ∴35m −45=3m ，∴m =−13，故答案为−13先求出二元一次方程组的解为{x =25m +45y =15m −85，再由x +y =m 得到35m −45=3m ，即可求出m 的值．本题考查二元一次方程组的解；掌握二元一次方程组的解法，正确求解方程组的解是解题的关键．13.【答案】23 89【解析】解：∵x 1、x 2是方程2x 2−4mx +2m 2+3m −2=0的两个实根， ∴△=(−4m)2−4×2×(2m 2+3m −2)≥0，可得m ≤23， 又x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2+3m−22，∴x 12+x 22=2(m −34)2+78=2(34−m)2+78，∵m ≤23，∴34−m >0，∴当m =23时，x 12+x 22取得最小值为2(34−23)2+78=89． 故答案为23，89．由根与系数的关系知x 12+x 22是关于m 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m 的取值范围，从判别式入手．本题考查了根与系数的关系，二次函数最值问题及根的判别式，难度较大，关键掌握：当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值，当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．14.【答案】35【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中两种品牌的彩电都齐全的12种，则两种品牌的彩电都齐全的概率是1220=35；故答案为：35．根据题意画出树状图得出所有等情况数和两种品牌的彩电都齐全的情况数，再根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15.【答案】2007.5【解析】解：根据题意得：f(x)+f(1x )=x1+x+1x1+1x=x1+x+1x+1=x+11+x=1，f(1)=0.5，则原式=[f(12008)+f(2008)]+[f(12007)+f(2007)]+⋯+[f(12)+f(2)]+f(1)=2007.5，故答案为：2007.5根据题意得到f(x)+f(1x)=1，原式结合后相加即可求出值．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.【答案】3<r≤4或r=2.4【解析】解：如图，∵BC>AC，∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点．根据勾股定理求得AB=5．分两种情况：(1)圆与AB相切时，即r=CD=3×4÷5=2.4；(2)点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC<r≤BC，即3<r≤4．∴3<r≤4或r=2.4．此题注意两种情况：(1)圆与AB相切时；(2)点A在圆内部，点B在圆上或圆外时．根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解．本题利用的知识点：勾股定理和垂线段最短的定理；直角三角形的面积公式求解；直线与圆的位置关系与数量之间的联系．17.【答案】1【解析】解：原式=1+b 2+1+a2(1+a2)(1+b2)=b2+a2+2b2+a2+1+a2b2，将ab=1代入得，原式=1．填空答案为：1．对所求的代数式利用分式加减法则化简整理得原式=b2+a2+2b2+a2+1+a2b2，然后将ab=1代入即可求出代数式的值．此题考查分式的计算与化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意使用整体代入的方法．18.【答案】√22【解析】解：连结BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF，∵BA是圆O的切线，切点为A，由切割线定理可知：AB2=BC⋅BF，∵BC=DC=3，AB=6，∴BF=12，CF=9，∴DE=32，OD=2，∴OE=√OD2−OE2=√4−94=√72，CE═92，OC=√OE2+CE2=√74+814=√22．故答案为：√22．利用切割线定理求出BF，然后求出OE，利用勾股定理求出圆的半径OC即可．本题考查圆的切线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键，19.【答案】解：原式=(a+b)−(a−b)(a−b)(a+b)÷ba2−2ab+b2=2b(a−b)(a+b)⋅(a−b)2b=2(a−b) a+b当a=1+√2，b=1−√2时，原式=2×2√22=2√2．【解析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分． 本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．20.【答案】(1)证明：设EG 于FH 相交于点O ，过E 作EM ⊥FH 于M ，过G 点作GN ⊥FH 于N ，如图1所示：则S =S △EFH +S △FHG ，∴S =12EM ⋅FH +12GN ⋅FH =12EO ⋅sinθ⋅FH +12OG ⋅sinθ⋅FH =12(EO +OG)⋅sinθ⋅FH =12EG ⋅FH ⋅sinθ=12ab ⋅sinθ， ∴sinθ=2S ab ；(2)解：过E 、F 、G 、H 分别对正方形ABCD 作对边的垂线，如图2所示：则四边形PQRT 、四边形AETH 、四边形EBFP 、四边形CFQG 、四边形DGRH 都是矩形，设正方形ABCD 的边长为x ，PQ =y ，QR =z ，由勾股定理得：y =√a 2−x 2，z =√b 2−x 2，由矩形的性质得：S △AEH =S △THE ，S △EBF =S △FPE ，S △CFG =S △QGF ，S △DGH =S △RHG ，∴S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ，∴x 2+yz =2S ，即x 2+√a 2−x 2⋅√b 2−x 2=2S ，解得：x 2=a 2b 2−4S 2a 2+b 2−4S ，∴正方形ABCD 的面积用a 、b 、S 表示为：a 2b 2−4S 2a 2+b 2−4S ．【解析】(1)设EG 于FH 相交于点O ，过E 作EM ⊥FH 于M ，过G 点作GN ⊥FH 于N ，则S =S △EFH +S △FHG ，得出S =12EM ⋅FH +12GN ⋅FH =12ab ⋅sinθ，即可得出结论；(2)过E 、F 、G 、H 分别对正方形ABCD 作对边的垂线，则四边形PQRT 、四边形AETH 、四边形EBFP 、四边形CFQG 、四边形DGRH 都是矩形，设正方形ABCD 的边长为x ，PQ =y ，QR =z ，由勾股定理得y =√a 2−x 2，z =√b 2−x 2，由矩形的性质得出S △AEH =S △THE ，S △EBF =S △FPE ，S △CFG =S △QGF ，S △DGH =S △RHG ，则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ，即x 2+yz =2S ，代入即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．21.【答案】解：(1)∵a ≠0，abc =0，∴bc =0<1>当b =0时由{a +b +c =3ab +ac +bc =−4， 得{a +c =3ac =−4， 解得{a 1=−1c 1=4或{a 2=4c 2=−1，∵a <b <c ，∴{a 2=4c 2=−1，(不合意，舍去) ∴a =−1，b =0，c =4.(2分)<2>当c =0时由{a +b +c =3ab +ac +bc =−4， 得{a +b =3ab =−4， 解之得{a 1=4b 1=−1或{a 2=−1b 2=4． ∵a <b <c ，∴{a 1=4b 1=−1和{a 2=−1b 2=4都不合题意，舍去．(3分) ∴所求的抛物线解析式为y =−x 2+4.(4分)(2)在y =−x 2+4中，当y =0时，x =±2∴A 、B 两点的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，过P 作PG ⊥x 轴于G ，设P(m,n)∵点P 在抛物线上且在第一象限内，∴m >0，n >0，n =−m 2+4∴PG =−m 2+4，OA =2，AG =m +2(5分)∵OD//PG ，OD =1.5 ∴OA AG =OD PG ，即22+m = 1.5−m 2+4 解得m 1=54,m 2=−2(不合题意，舍去)，∴OG =54(7分)∵当x =0时，y =4，∴点C 的坐标为(0,4)∴DC =OC −OD =4−1.5=2.5S △PDC =12CD ⋅OG =12×52×54=2516S △AOD =12AO ⋅OD =12×1.5×2=32=2416∴S △PDC>S △AOD .(8分)【解析】(1)因为a 不等于0故分别令c =0以及b =0时求出a ，c 的值．(2)令y =0求出A ，B 两点的坐标．做PG ⊥x 轴于G ，利用线段比求出m 值，然后可求出各有关线段的值．最后求解．本题综合考查了二次函数的相关知识以及三角形面积的计算，难度较大．22.【答案】(1)证明：∵点E 是切点∴∠AED =90°∵∠A =∠A ，∠ACB =90°∴△ADE∽△ABC ；(2)解：连接DF ，则DE =DF设CD =x ，则AD =6−x∵△ADE∽△ABC∴DEBC=ADAB∴DE=6−X √5在RT△DCF中DF2=x2+CF2=x2+4∴(6−X)25=x2+4x2+3x−4=0∴x=1，x=−4(舍去)∴CD=1(当CD=1时，0<x<6，所以点D在AC上)；(3)解：取a=3，(可取3√5−32<a<6的任意一个数)则AD=AC−CD=3，∵DE<AD，∴DE<DC，即d>r，则⊙D与BC相离，∴当a=3时，⊙D与BC没有公共点．【解析】(1)因为点E为切点，则得到∠AED=90°，已知有一组公共角，则根据有两组角相等的两个三角形相似可推出△ADE∽△ABC；(2)连接DF，则DE=DF，设CD=x，则AD=6−x，根据相似三角形的对应边成比例可得到DE的长，再利用勾股定理求得DF的长，则解方程即可得到CD的长；(3)取a=3，(可取3√5−32<a<6的任意一个数)，则AD=3，根据DE<AD即可得到DE<DC从而得到⊙D与BC没有公共点．此题主要考查学生对切线的性质，相似三角形的判定及勾股定理等知识点的综合运用．23.【答案】解：(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上，∴4=3+m．∴m=1．设所求二次函数的关系式为y=a(x−1)2．∵点A(3,4)在二次函数y=a(x−1)2的图象上，∴4=a(3−1)2，∴a=1．∴所求二次函数的关系式为y=(x−1)2．即y=x2−2x+1．(2)设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE=ℎ=y P−y E=(x+1)−(x2−2x+1)=−x2+3x．即ℎ=−x2+3x(0<x<3)．(3)存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．∵点D在直线y=x+1上，∴点D的坐标为(1,2)，∴−x 2+3x =2．即x 2−3x +2=0．解之，得x 1=2，x 2=1(不合题意，舍去)∴当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP 是平行四边形，必需有BP//CE ．设直线CE 的函数关系式为y =x +b ．∵直线CE 经过点C(1,0)，∴0=1+b ，∴b =−1．∴直线CE 的函数关系式为y =x −1．∴{y =x −1y =x 2−2x +1得x 2−3x +2=0．解之，得x 1=2，x 2=1(不合题意，舍去)∴当P 点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP 是平行四边形．【解析】(1)因为直线y =x +m 过点A ，将A 点坐标直接代入解析式即可求得m 的值；设出二次函数的顶点式，将(3,4)代入即可；(2)由于P 和E 的横坐标相同，将P 点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h 即为二者之差；根据P 、E 在二者之间，所以可知x 的取值范围是0<x <3；(3)先假设存在点P ，根据四边形DCEP 是平行四形的条件进行推理，若能求出P 点坐标，则证明存在点P ，否则P 点不存在．此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，结合图形有利于解答；(3)是一道存在性问题，有一定的开放性，需要先假设点P 存在，然后进行验证计算．。