线性规划常见题型及解法
求线性目标函数的取值范围
2
2 2
x y A D y 2
O
x x=2
求可行域的面积
y
y
M 5
2 x y 2 y
x y 2 x y 2
x y x
(3,5]
y =2
( 13 例1
x+2y
时 6 的点 C 、 x ， 个
y 6 y 3 2 x + y —3 = 0
C 、 5 A 、 4 B 、 1
D 、无穷大 ()
0,将 有
最小值 故选A
.B
A ---
作出可行域如右图 点个数为13个，选D x + y =2
则z=x+2y 的取值范围是 ()
旦y =2
0 0表示的平面区域的面积为 三、求可行域中整点个数
解：|x| + |y| <2等价于 解：如图，作出可行域，作直线I : I 向右上方平移，过点A ( 2,0 ) 2,过点B ( 2,2 )时，有最大值 [2,6] B 、[2 ,5] C 、[3,6]
解：如图，作出可行域，△ ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的
面积即可，选B 例 3、满足 |x| + |y| <2 A 、9 个 B 、10 个 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性 目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

(x 0,y 0)
(x 0,y p 0) (xp 0,y 0) (xp 0,y p 0)
是正方形内部(包括边界)，容易得到整
y)中整点(横纵坐标都是整数)有() D 、 14 个
2x 例2、不等式组x x 若x 、y 满足约束条件 y
O
C V —►
x
2x + y —6= 0
故a=1 ,选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围
解：如图，作出可行域，作直线I : x+ay = 0, 要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解
有无数个，则将I 向右上方平移后与直线x+y = 5重合，
五、求非线性目标函数的最值
例 已知变量x , y 满足约束条件
9 (A) [-, 6]
5
x — y + 2 <0,
x >1, 贝U y
的取值范围是( x
x + y — 7 <0,
9
(B) (—3 Z ] U [6，+m )
5
(C) (—^, 3] U [6 ,+R) ( D ) [3 , 6]
解析
"是可行域内的点 M(x , y )与原点O
x 3
5 9
y
(0, 0)连线的斜率，当直线 OM 过点(2 , 2)时，'取得
2 2 x 最小值9
当直线0止点（1, 6）时，y
取得最大值6.答案A
x y
5
例4、已知x 、y 满足以下约束条件
x y 5 0，使 z=x+ay( a>0) x 3
取得最小值的最优解有无数个，
则 a 的值为 ()
A 、 一 3
B 、 3
C 、 一 1
D 、 1
2x y 2 0
例5、已知x 、y 满足以下约束条件x
2y 4 0 3x y 3 0
,则z=x 2+y 2
的最大值和最小值分别是(
A 、 13 , 1 C 、13 ,—
5
B 、13 , 2 D 、.13 , 口
5
解：如图，作出可行域,x 2+y 2
是点(x , y )到原点的距 离的平方，故最大
值为点 A ( 2,3 )到原点的距离的平方， 2
即|A0| =13 ,最小值为原点到直线2x + y — 2=0的距离的平
-2= 0
方，即为4
,选C 5 六•比值问题
当目标函数形如z y a
时,可把z 看作是动点 x b 为PQ 连线斜率的最值。

P(x, y)与定点Q(b,a)连线的斜率，这样目标函数的最值就转化
5 X。