导数一．基础题组1. 【2010新课标，理3】曲线y ＝在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2 【答案】A2. 【2008全国1，理6】若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B.【解析】由.3. 【2012全国，理21】已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋x 2． (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值． 【解析】(1)由已知得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x .所以f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1. 又f (0)＝f ′(1)e －1，所以f ′(1)＝e. 从而f (x )＝e x－x ＋x 2. 2x +x(1)y f x =-ln1y =y x =()f x =21x e-2xe21x e+22x e+()()()()212121,1,y x x y x ef x ef x e --=⇒=-==121212由于f ′(x )＝e x－1＋x ，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.从而，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)由已知条件得e x－(a ＋1)x ≥b .①(ⅰ)若a ＋1＜0，则对任意常数b ，当x ＜0，且时，可得e x－(a ＋1)x ＜b ，因此①式不成立．(ⅱ)若a ＋1＝0，则(a ＋1)b ＝0.所以f (x )≥x 2＋ax ＋b 等价于 b ≤a ＋1－(a ＋1)ln(a ＋1)．②因此(a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)． 设h (a )＝(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)， 则h ′(a )＝(a ＋1)(1－2ln(a ＋1))．所以h (a )在(－1，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 故h (a )在处取得最大值． 从而，即(a ＋1)b ≤. 当，时，②式成立， 11b x a -<+1212e 1-12e 1-12=e 1a -e ()2h a ≤e 212=e 1a -12e2b =故f (x )≥x 2＋ax ＋b . 综合得，(a ＋1)b 的最大值为. 4. 【2009全国卷Ⅰ，理22】设函数=x 3+3bx 2+3cx 有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈－1，0］，x 2∈1,2］.（Ⅰ）求b 、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b ， c ）的区域；(Ⅱ)证明：－10≤f(x 2)≤.12e 2)(xf 21满足这些条件的点（b,c)的区域为图中阴影部分.（Ⅱ）由题设知f′(x 2)=3x 22+6bx 2+3c=0,故. 于是f(x 2)=x 22+3bx 22+3cx 2=. 由于x 2∈1,2］,而由（Ⅰ）知c≤0,故 -4+3c≤f(x 2)≤. 又由（Ⅰ）知-2≤c≤0, 所以-10≤f(x 2)≤. 5. 【2008全国1，理19】（本小题满分12分） 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间；（Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．c x bx 2121222--=2322321x cx +-c 2321+-21-32()1f x x ax x =+++a ∈R ()f x ()f x 2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（2），且解得： 二．能力题组1. 【2011全国新课标，理9】由曲线，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．B ． 4C ．D ． 6【答案】C 【解析】2. 【2011全国，理8】曲线y ＝e －2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为( ) A.B ．C ．D ．1 【答案】：A【解析】：，故曲线在点（0,2）处的切线方程为233133a a ⎧---⎪⎪⎨-+⎪-⎪⎩23a>74a≥y =103163131223200|(2)|2x x x y e -=='=-=-21x y e -=+，易得切线与直线和围成的三角形的面积为。

3. 【2009全国卷Ⅰ，理9】已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】B4. 【2008全国1，理7】设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A ．2B ．C ．D ．【答案】D.【解析】由. 5. 【2014课标Ⅰ，理21】（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为（I ）求（II ）证明：【答案】（I ）；（II ）详见解析.22y x =-+0y =y x =1311x y x +=-(32)，10ax y ++=a =1212-2-()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----1()ln x xbe f x ae x x -=+()y f x =(1,(1))f (1) 2.y e x =-+,;a b () 1.f x >1,2a b ==三．拔高题组1. 【2013课标全国Ⅰ，理21】(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x(cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【解析】：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x(cx ＋d ＋c )， 故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x(x ＋1)． 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2， 则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x－1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．21x综上，k 的取值范围是1，e 2]．2. 【2011全国新课标，理21】已知函数，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值；(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，，求k 的取值范围． 【解析】(1).由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，故即解得(ⅰ)设k ≤0.由知，当x ≠1时，h ′(x )＜0.而h (1)＝0，故当x ∈(0，1)时，h (x )＞0，可得；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得. 从而当x ＞0，且x ≠1时，， 即. ln ()1a x bf x x x=++ln ()1x kf x x x>+-221(ln )()(1)x a x b x f x x x +-'=-+12(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩11a b =⎧⎨=⎩222(1)(1)()k x x h x x+--'=21()01h x x⋅>-21()01h x x >-ln ()()01x kf x x x-+>-ln ()1x kf x x x>+-(ⅱ)设0＜k ＜1.由于当x ∈(1，)时，(k －1)(x 2＋1)＋2x ＞0，故h ′(x )＞0.而h (1)＝0，故当x ∈(1，)时，h (x )＞0，可得，与题设矛盾． (ⅲ)设k ≥1.此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得.与题设矛盾． 综合得，k 的取值范围为(－∞，0]．3. 【2011全国，理22】(1)设函数，证明：当x ＞0时，f (x )＞0； (2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p .证明：.由(1)知：当x ＞0时，， 因此. 在上式中，令，则，即. 所以. 4. 【2010新课标，理21】（12分）(理)设函数f(x)＝e x－1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．【解析】： (1)a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1.11k-11k -21()01h x x <-21()01h x x <-2()ln(1)2xf x x x '=-+＋19291()10ep <<2ln(1)2xx x +>+2(1)ln(1)2x x++>19x =1019ln>2919210()>e 919291()10ep <<当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，0)上单调减少，在(0，＋∞)上单调增加． (2)f ′(x )＝e x－1－2ax .由(1)知e x≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立， 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ， 从而当1－2a ≥0， 即a ≤时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0， 于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x＞1＋x (x ≠0)可得e －x＞1－x (x ≠0)．从而当a ＞时， f ′(x )＜e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )＜0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )＜0. 综合得a 的取值范围为(－∞，]． 5. 【2008全国1，理22】（本小题满分12分）设函数．数列满足，．（Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设，整数．证明：．121212()ln f x x x x =-{}n a 101a <<1()n n a f a +=()f x (01)，11n n a a +<<1(1)b a ∈，11ln a bk a b-≥1k a b +>（ⅱ）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得 .而，则，，也就是说当时，也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.6. 【2006全国，理21】（本小题满分14分） 已知函数.（Ⅰ）设讨论的单调性；（Ⅱ）若对任意恒有，求a 的取值范围。