专题63 构造圆与隐形圆在二次函数中的综合问题1、如图，在直角坐标系中，直线y=﹣13x ﹣1与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B ，以x=﹣1为对称轴的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A 、C ，直线x=﹣1与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AB 上是否存在一点P ，使以A ，D ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）若点Q 在第三象限内，且tan△AQD=2，线段CQ 是否存在最小值，如果存在直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=x 2+2x ﹣3；（2）存在；点P 坐标为（﹣1，−23）或（-65，-35）； （3）存在，CQ 最小值为√37−√52. 【解析】（1）△直线y=﹣13x ﹣1与x 轴交于A 点，△点A 坐标为（﹣3，0），又△直线x=﹣1为对称轴，△点C 坐标为（1，0），△抛物线解析式为：y=（x+3）（x ﹣1）=x 2+2x ﹣3；（2）存在；由已知，点D 坐标为（﹣1，0），点B 坐标为（0，﹣1），设点P 的坐标为（a ，﹣13a ﹣1），△当△AOB△△ADP 时，AD AO =DP OB ，即23=13a+11，解得：a=﹣1；点P 坐标为（﹣1，−23）；△当△AOB△△APD 时，过点P 作PE△x 轴于点E ，则△APE△△PED ，△PE 2=AE•ED ，△（﹣13a ﹣1）2=（a+3）（﹣a ﹣1），解得a 1=﹣3（舍去），a 2=﹣65，△点P 坐标为（﹣65，﹣35）；（3）存在，CQ 最小值为√37−√52；如图，取点F （﹣1，﹣1），过点ADF 作圆，则点E （﹣2，﹣12）为圆心，△tan△AFD=2，△弧AFD （A 、D 除外）上的点都是满足条件的Q 点，则连CE 交△E 于点Q ，则CQ 为满足条件的最小值，此时CE=√(12)2+32=√372， △△E 半径为√52，△CQ 最小值为√37−√52. 2、如图，直线y=﹣34x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．抛物线y=﹣38x 2+bx+c 经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第一象限抛物线上的点，连接OP 交直线AB 于点Q ．设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的关系式，并求出PQ 与OQ 的比值的最大值；（3）点D 是抛物线对称轴上的一动点，连接OD 、CD ，设△ODC 外接圆的圆心为M ，当sin△ODC 的值最大时，求点M 的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣38x 2+34x+3；（2）y=﹣18m 2+12m ，PQ 与OQ 的比值的最大值为12；（3）点M 的坐标为（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．【解析】（1）在y=﹣34x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，△点A （4，0）、B （0，3），把A （4，0）、B （0，3）代入y=﹣38x2+bx+c ，得：{−38×42+4b +c =0c =3，解得：{b =34c =3 ，△抛物线解析式为y=﹣38x 2+34x+3；（2）如图1，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点E ，则△PEQ△△OBQ ，△PQ OQ =PE OB ，△PQ OQ =y 、OB=3，△y=13PE ，△P （m ，﹣38m 2+34m+3）、E （m ，﹣34m+3），则PE=（﹣38m 2+34m+3）﹣（﹣34m+3）=﹣38m 2+32m ，△y=13（﹣38m 2+32m ）=﹣18m 2+12m=﹣18（m ﹣2）2+12，△0＜m ＜3，△当m=2时，y 最大值=12，△PQ 与OQ 的比值的最大值为12；（3）如图，由抛物线y=﹣38x 2+34x+3易求C （﹣2，0），对称轴为直线x=1，△△ODC 的外心为点M ，△点M 在CO 的垂直平分线上，设CO 的垂直平分线与CO 交于点N ，连接OM 、CM 、DM ，则△ODC=12△CMO=△OMN 、MC=MO=MD ，△sin△ODC=sin△OMN=NO MO =1MO ，又MO=MD ，△当MD 取最小值时，sin△ODC 最大，此时△M 与直线x=1相切，MD=2，MN=√OM 2−ON 2=√3，△点M （﹣1，﹣√3），根据对称性，另一点（﹣1，√3）也符合题意；综上所述，点M 的坐标为（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．3、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21yax bx a与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴； （3）已知点11(,)2P a-，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 【答案】（1）点B 的坐标为1(2,)a -；（2）对称轴为直线1x =;（3）当12a ≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点.【解析】解：（1）△抛物线与y 轴交于点A ，△令0x =，得1=-y a， △点A 的坐标为1(0,)a-，△点A 向右平移两个单位长度，得到点B ， △点B 的坐标为1(2,)a-； （2）△抛物线过点1(0,)A a -和点1(2,)B a-，由对称性可得，抛物线对称轴为 直线0212x +==，故对称轴为直线1x = （3）△对称轴x=1，△b -2a ，212∴=--y ax ax a ， △a ＞0时，当x=2时，12=-<y a ，当1=-y ax=0或x=2， △函数与AB 无交点；△a ＜0时，当y=2时，2122--=ax ax a， |1|++=a a x a 或|1|-+=a a x a 当|1|2++a a a 时，12-a ； △当12-a 时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点； （3）△当0a >时，则10a-<，思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；也不可能同时经过点B 和点Q ，所以，此时线段PQ 与抛物线没有交点.△当0a <时，则10a->. 思路引导图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A 和点P ；但当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时12,a -≤即 12a ≤- 综上所述，当12a ≤-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 4、如图，抛物线y ＝ax 2+bx+6与x 轴交于点A （6，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM 最小时，求点M 的坐标．（3）抛物线上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P ，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+5x+6；（2）M （52，72）；（3）存在5个满足条件的P 点，尺规作图见解析【解析】解：（1）将A （6，0），B （﹣1，0）代入y ＝ax 2+bx+6，可得a ＝﹣1，b ＝5，△y ＝﹣x 2+5x+6；（2）作点C 关于对称轴x ＝52的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M ，根据两点之间线段最短，则CM+BM ＝C'M+BM ＝C'B 最小，△C （0，6），△C'（5，6），设直线BC'的解析式为y=kx ＋b将B （﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得065k bk b =-+⎧⎨=+⎩解得：11k b =⎧⎨=⎩△直线BC'的解析式为y ＝x+1，将x ＝52代入，解得y=72△M （52，72）；（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：△若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；△若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；△若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；故存在5个满足条件的P点．5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+53（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH△AR于点H，过点P做PQ△x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′△x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2√3PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝132PH−14PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN△x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）y ＝16x 2﹣43x ﹣8，y ＝512x+53；（2）P （5，−212），m 的最小值为2√19；（3）D1（31−5√132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5√132，0）． 【解析】解（1）△y ＝ax 2+bx ﹣8与y 轴的交点为C ，令x ＝0，y ＝﹣8， △点C （0，﹣8），△OC ＝8，△OC ＝2OA ，OB ＝3OA ，△OA ＝4，OB ＝12，△A （﹣4，0）B （12，0），将点A 代入直线解析式可得0＝﹣4k+53，解得k ＝512， △y ＝512x+53，将点A 和点B 代入抛物线中，{0=16a −4b −80=144a +12b −8，解得a ＝16，b ＝﹣43，△y ＝16x 2﹣43x ﹣8；（2）设点P 的坐标为（p ，16p 2﹣43p ﹣8），﹣2a b ＝4，△抛物线的对称轴为直线x ＝4，△点Q （8﹣p ，16p 2﹣43p ﹣8），△PQ ＝2p ﹣8，△PK ＝2√3PQ ，△PK ＝4√3p ﹣16√3，如图1所示，延长PK 交直线AR 于点M ，则M （p ，512P+53），△PM ＝512P+53﹣（16p 2﹣43p ﹣8）＝﹣16p 2﹣2112p+293，△△PHM ＝△MH′A ，△HMP ＝△AMH′，△△HPM ＝△MAH′，△直线解析式为y ＝512x+53，，令x ＝0，y ＝53，△OE ＝53，△OA ＝4，根据勾股定理得△AE ＝133，△cos△EAO ＝OA AE ＝1213,△cos△HPM ＝PH PM ＝PH ﹣16P 2﹣2112p+293＝1213，△PH ＝﹣213p 2+2113p+11613，△I ＝132PH -14PQ ，△I ＝132（﹣213p 2+2113p+11613）﹣14（2p ﹣8）＝﹣（p ﹣5）2+85，△当p ＝5时，I 取最大值此时点P （5，﹣212），△PQ ＝2，PK ＝4√3，如图2所示，连接QK ，以PQ 为边向下做等边三角形PQD ，连接KD ，在KD 取I ，使△PID ＝60°，以PI 为边做等边三角形IPF ，连接IQ ，△IP ＝PF ，PQ ＝PD ，△IPQ ＝△FPD ，△△IPQ△△FPD（SAS），△DF＝IQ，△IP+IQ+IK＝IF+FD+IK＝DK，此时m最小，过点D作DN垂直于KP，△△KPD＝△KPQ+△QPD＝150°，△△PDN＝30°，△DP＝PQ＝2，△DN＝1，根据勾股定理得PN＝√3，在△KDN中，KN＝5√3，DN＝1，根据勾股定理得KD＝2√19，△m的最小值为2√19；（3）设NM与x轴交于点J，△AM＝13，cos△MAJ＝12，13△AJ＝12，根据勾股定理得MJ＝5，△OA＝4，△OJ＝8，△M（8，5），当x＝8时，代入抛物线中，可得y＝﹣8，△N（8，﹣8），MN＝13，在△AJN中，根据勾股定理得AN＝4√13，△点D为x轴上的动点，根据翻折，MN′＝13，所以点N′在以M为圆心，13个单位长度为半径的圆上运动，如图3所示，△当N′落在AN 的垂直平分线上时，tan△MNA ＝128＝32，△tan△MGJ ＝32，△MJ ＝5，△JG ＝103，根据勾股定理得MG ＝5√133，△MD1为△GMJ 的角平分线，△MG MJ =GD DJ ，△D1J ＝5√13﹣152，△D1（31−5√132，0），△MD4也为角平分线，△△D1MD4＝90°，根据射影定理得MJ2＝JD1•JD4，△JD4＝5√13+152， △D4（31+5√132，0）； △当AN ＝AN′时，D2与点A 重合，△D2（﹣4，0），△MD3为角平分线，△MJ MN′=JD 3D 3N′，△JD3＝103， △D3（343，0），综上所述D1（31−5√132，0），D2（﹣4，0），D3（343，0），D4（31+5√132，0）． 6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，经过C （1，1）的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）顶点为M ，与x 轴正半轴交于A ，B 两点．（1）如图1，连接OC ，将线段OC 绕点O 逆时针旋转使得C 落在y 轴的正半轴上，求线段OC 过的面积； （2）如图2，延长线段OC 至N ，使得ON ＝2OC ，若△ONA ＝△OBN 且tan△BAM ＝172，求抛物线的解析式； （3）如图3，已知以直线x ＝52为对称轴的抛物线y ＝ax 2+bx +c 交y 轴于（0，5），交直线l ：y ＝kx +m （k ＞0）于C ，D 两点，若在x 轴上有且仅有一点P ，使△CPD ＝90°，求k 的值．【答案】（1）4π；（2）y ＝2x 2﹣9x +8；（3）k ． 【思路引导】（1）线段OC 过的面积＝45360︒︒×π×）2＝4π； （2）△ONA △△OBN ，则OA •OB ＝ON 2＝4，即mn ＝4…△，则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ），MH ＝|y M |＝﹣a （2m n +﹣m ）（2m n +﹣n ）＝2()4a m n -，AH ═2m n +﹣m ，tan△BAM ＝MH AH ＝12a （n﹣m ）＝2，化简得：a （n ﹣m ，将（1，1）代入y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）并化简得：a （5﹣m ﹣n ）＝1…△，联立△△△即可求解；（3）抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣5x +5；设点D （m ，n ），n ＝m 2﹣5m +5，而点C （1，1），则k ＝25511m m m -+--＝m ﹣4，若在x 轴上有且仅有一点P ，使△CPD ＝90°，则过CD 中点的圆R 与x 轴相切，即可求解．【解析】（1）线段OC 过的面积＝45360︒︒×π×）2＝4π；（2）ON OC ＝4，设点A 、B 的坐标分别为：（m ，0）、（n ，0），△ONA ＝△OBN ，则△ONA △△OBN ，则OA •OB ＝ON 2＝4，即mn ＝4…△，则抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ），过点M 作MH △AB 交AB 于点H ，函数的对称轴为：x ＝12（m +n ），则MH ＝|y M |＝﹣a （2m n +﹣m ）（2m n +﹣n ）＝2()4a m n -，AH ＝x M ﹣x A ＝2m n+﹣mtan△BAM ＝MHAH ＝12a （n ﹣m，化简得：a （n ﹣m…△，将（1，1）代入y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）并化简得：a （5﹣m ﹣n ）＝1…△，联立△△△并解得：m，na ＝2，则抛物线的表达式为y ＝a （x ﹣m ）（x ﹣n ）＝a （x 2﹣mx ﹣nx +mn ）＝2x 2﹣9x +8；（3）由题意得：15225a b c b x a c ++=⎧⎪⎪=-=⎨⎪=⎪⎩，解得：155a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣5x +5；设点D （m ，n ），n ＝m 2﹣5m +5，而点C （1，1），则k ＝25511m m m -+--＝m ﹣4，若在x 轴上有且仅有一点P ，使△CPD ＝90°，则过CD 中点的圆R 与x 轴相切，设切点为P ，则点H （12+m ，12n +），则HP ＝HC ， 即（12+m ﹣1）2+（12n +﹣1）2＝（12n +）2， 化简得：3m 2﹣18m +19＝0，解得：m ＝（不合题意的值已舍去），k ＝m ﹣4＝33． 【方法总结】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、解直角三角形、三角形相似等，综合性很强，数据处理技巧多，难度大．7、如图1，抛物线21333=++y x x 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左边），O 为坐标原点．点D 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，过点D 作DE △x 轴交直线BC 于点E ．点P 为△CAB 角平分线上的一动点，过点P 作PQ △BC 于点H ，交x 轴于点Q ；点F 是直线BC 上的一个动点． （1）当线段DE 的长度最大时，求DF +FQ +12PQ 的最小值． （2）如图2，将△BOC 沿BC 边所在直线翻折，得到△BOC ′，点M 为直线BO ′上一动点，将△AOC 绕点O 顺时针旋转α度（0°＜α＜180°）得到△A ′OC ′，当直线A ′C ′，直线BO ′，直线OM 围成的图形是等腰直角三角形时，直接写出该等腰直角三角形的面积．【答案】（1；（2）围成的三角形面积为：12391711828，，===S S S 4998=S 【解析】（1）如图1，当x ＝0时，y ＝3．当y ＝0时，12x x ==△(A ，B ，(0,3)C△AC △BC ，且△ABC ＝30°，AC ＝BC y 3=+设D （a ，2133a -++），则E 2212,33a a --++）△DE ＝a ﹣222333a a a a ⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭△当a=⎝⎭时，DE 最大．此时D154） △AP 平分△CAB ，△△P AB ＝12△CAB ＝30°， △PQ △BC ，△△PQB ＝60°，△△P ＝△PQB ﹣△P AB ＝60°﹣30°＝30°＝△P AB ，△PQ △BC ，△PQB ＝60°，△AQ ＝PQ ， △min 12DF FQ PQ ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝min12DF FQ AQ ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 将射线AB 绕A 顺时针旋转30°得到直线AM ，过点D 作AM 的垂线于点M ，交x 轴于点Q ′，则12AQ Q M ''=． 当Q 运动到Q ′时，有min12DF FQ AQ ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝DM ， 过D 作DN △x 轴于点N ，可得△AQ ′M 与△DQ ′N 相似，DN ＝D y ＝154，AN△Q ′N，DQ ′，AQ ′＝AN ﹣Q ′N△Q ′M＝128AQ '=△DM ＝DQ ′+Q ′Mmin 12DF FQ AQ ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝DM（2）第一种情况：如图2，NH ＝r ＝32，QHOQ ＝2r ＝3，QN ＝QH ﹣NH32，QB ＝3+QP92=+PN ＝PQ ﹣QN ＝6，S 1＝18．第二种情况，如图3，QH=HN ＝r ＝32，QB ＝，QP 92=+PN ＝PQ ﹣QH ﹣HN ＝3，292S =；第三种情况，如图4，ON 92=，OM =，MQ ＝OM ﹣r 32-，23117128S MQ ==-第四种情况，如图5，OB ＝OM 92=，ON =MN ＝OM ﹣0N ＝92，2419928S MN ==．第五种情况，如图6，MN ＝BN ＝OB sin15°＝4ON ＝OB cos15°OM ＝ON +MN ＝2，HM ＝OM ﹣r ＝322-，25312S HM S ==；第六种情况，如图7，OM 92=，ON =MN ＝OM ﹣ON ＝92-26412S MN S ==；综上所述，围成的三角形面积为：123917118;;284S S S ===-；4998=-S 8、如图，抛物线y ＝﹣12x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B （A 左B 右），与y 轴交于C ，直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第二象限抛物线上一点，设点P 横坐标为m ，点P 到直线BC 的距离为d ，求d 与m 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若△PCB+△POB ＝180°，求d 的值．【答案】（1）y ＝﹣12x2+32x+5（2）d ＝√24m2﹣5√24m （﹣2＜m ＜0）（3）3√22 【解析】（1）△直线y ＝﹣x+5经过点B 、C ，△B （5，0），C （0，5），把B 、C 坐标代入y ＝﹣12x2+bx+c 得到：{c =5−252+5b +c =0， 解得{b =32c =5， △二次函数的解析式为y ＝﹣12x2+32x+5；（2）如图1中，作PE△BC 于E ，作PF△AB 交BC 于F ．△P （m ，﹣12m2+32m+5），△PF△AB ，△点F 的纵坐标为﹣12m2+32m+5，则有﹣12m2+32m+5＝﹣x+5，△x ＝12m2﹣32m ，△PF ＝12m2﹣32m ﹣m ＝12m2﹣52m ，△OB ＝OC ，△BOC ＝90°，△△EFP ＝△OBC ＝45°，△PE△EF ，△△PEF 是等腰直角三角形，△d ＝PE ＝√22PF ＝√24m2﹣5√24m （﹣2＜m ＜0）；（3）如图2中，取BC 的中点H ，连接PH ．△△PCB+△POB ＝180°，△O 、B 、C 、P 四点共圆，△△CPB ＝△COB ＝90°，△PH ＝12BC ＝5√22， △P （m ，﹣12m2+32m+5），H （52，52），△（m ﹣52）2+（﹣12m2+32m+5﹣52）2＝252， 整理得：m （m ﹣5）（m2﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝0或5或﹣1或2，△P 在第二象限，△m ＝﹣1，△d ＝√24m2﹣5√24m ＝3√22． 9、在平面直角坐标系xOy 中，对“隔离直线”给出如下定义：点(,)P x m 是图形1G 上的任意一点，点(,)Q x n 是图形2G 上的任意一点，若存在直线l ：(0)y kx b k =+≠满足m kx b ≤+且n kx b ≥+，则称直线l ：(0)y kx b k =+≠是图形1G 与2G 的“隔离直线”，如图1，直线l ：2y x =--是函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“隔离直线”.（1）在直线△11y x =--，△231y x =+，△34y x =-+，△42y x =-中，是图1函数4(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“隔离直线”的为 . （2）如图2，第一象限的等腰直角三角形EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是(2,1)，△OEDF ∆与△O 的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；（3）正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其它三边都在y 轴的左侧，点(1,)M t -是此正方形的中心，若存在直线2y x b =-+是函数223(40)y x x x =+--≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“隔离直线”，请直接写出t 的取值范围.【答案】(1)△△;(2)25y x =-+;(3)2t ≥或8t ≤-【解析】(1)根据的“隔离直线”的定义可知42y x =-，是图1函数4(0)y x x =<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”；直线11y x =--也是图1函数4(0)y x x=<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”；而231y x =+与34y x =-+不满足图1函数4(0)y x x =<的图象与正方形OABC 的“隔离直线”的条件； 故答案为：△△；(2)存在，理由如下：连接OD ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，如图，在Rt△DGO 中，OD ==△△O△点D 在△O 上．过点D 作DH△OD 交y 轴于点H ，△直线DH 是△O 的切线，也是△EDF 与△O 的“隔离直线”．设直线OD 的解析式为y kx =，将点D(2，1)的坐标代入得12k =， 解得：12k =，△DH△OD ，△设直线DH 的解析式为2y x n =-+，将点D(2，1)的坐标代入得122n =-⨯+，解得：5n =，△直线DH 的解析式为25y x =-+，△“隔离直线”的表达式为25y x =-+；(3)如图：由题意点F 的坐标为(45-，)，当直线2y x b =-+经过点F 时，()524b =-⨯-+，△3b =-，△直线23y x =--，即图中直线EF ，△正方形A 1B 1C 1D 1的中心M(1，t)，过点1M 作1M G △y 轴于点G ，△点1M 是正方形的中心，且11M G =，△B 1C 1122M G ==，11B G =，△正方形A 1B 1C 1D 1的边长为2，当2x =-时，()232231y x =--=-⨯--=，△点C 1的坐标是(21-，)，此时直线EF 是函数223(40y x x x =+--≤≤)的图象与正方形A 1B 1C 1D 1的“隔离直线”，△点1M 的坐标是(-1，2)，此时2t =；当直线2y x b =-+与223y x x =+-只有一个交点时， 2223y x b y x x =-+⎧⎨=+-⎩，消去y 得到2430x x b +--=， 由0=，可得()24430b ---=， 解得：7b =-，同理，此时点M 的坐标为：(18-，)，△8t =-，根据图象可知:当2t ≥或8t ≤-时，直线2y x b =-+是函数223(04y x x x =+-≤≤)的图象与正方形A 1B 1C 1D 1的“隔离直线”．10、如图，已知直角坐标平面上的△ABC ，AC =CB ，∠ACB =90∘，且A(−1, 0)，B(m, n)，C(3, 0)．若抛物线y =ax 2+bx −3经过A 、C 两点．(1)求a、b的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的解析式；(3)设(2)中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点Q为圆心画图，当⊙Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形ABQP的面积．【答案】（1）{a=1b=−2；（2）新抛物线的解析式为y=x2−2x+1;(3)5【解析】(1)△抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1, 0)、C(3, 0)，△{a−b−3=09a+3b−3=0，解得：{a=1b=−2；(2)设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，则新抛物线的解析式为y=x2−2x−3+k，△A(−1, 0)、C(3, 0)，△CB=AC=3−(−1)=4，△∠ACB=90∘，△点B的坐标为(3, 4)．△点B(3, 4)在抛物线y=x2−2x−3+k上，△9−6−3+k=4，解得：k=4，△新抛物线的解析式为y=x2−2x+1；(3)设⊙Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD=QE，△∠QDC=∠DCE=∠QEC=90∘，△四边形QECD是矩形．△QD=QE，△矩形QECD是正方形，△QD=DC．设点Q的横坐标为t，则有OD=t，QD=DC=OC−OD=3−t，△点Q的坐标为(t, 3−t)．△点Q在抛物线y=x2−2x+1上，△t2−2t+1=3−t，解得：t1=2，t2=−1．△Q为抛物线y=x2−2x+1上P点至B点之间的一点，△t=2，点Q的坐标为(2, 1)，△OD=2，QD=CD=1．由y=x2−2x+1=(x−1)2得顶点P的坐标为(1, 0)，△OP=1，PD=OD−OP=2−1=1，△S四边形ABQP =S△ACB−S△PDQ−S梯形DQBC=12AC⋅BC−12PD⋅QD−12(QD+BC)⋅DC=1×4×4−1×1×1−1×(1+4)×1=5，△四边形ABQP的面积为5．。