学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解
开课实验室数统学院
学院数统年级2013 专业班信计02班
学生姓名______________ 学号
开课时间2015 至2016 学年第 2 学期
数学与统计学院制
开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年6月20日
1、三层显格式建立
由于题中h 0.1, 0.1h，x 0,1 ,t 0,2，取N 10, M 200，故令网比r 0.1，h
X j j h, j 0,1,2,L 10，t k k ,k O,1L ,200 ,在内网个点处，利用二阶中心差商得到如下格式:
k 1 k
U J 2U J
2-
k 1
U j k k
U j 1 2U j h2
k
U j 1
o h2
略去误差项得到:
k 1
U j 其中j 1,2丄9,k
对于初始条件
2 k r U J1
1,2,L ,199，局部截断误差为
U x,0 sin
U J k
U j
k
r U j
2 o
k 1
U J
h2。
(3)
对于初始条件-u x,0 t
x，建立差分格式为：
sin x j sin Jh , J
利用中心差商，建立差分格式为:
0,1,2,L 10 (4)
对于边界条件将差分格式延拓使综上（3 ）、
（4 ）、
k 1
u j
其中r山o.1
1
U J
2
1
U j
0,即U1二U j1, J 0,1,2,L 10 (5)
0,t 0,2 ，建立差分格式为：
U N 0,k 0,1,L ,200
k 0为内点，代入（3）得到的式子再与（5）联立消去
1 1
2 0 ’ 2 0 1
5 r U, 1 1 r U, r
J 2 J J 2
（7 ）得到三层显格式如下：
U 0,t U 1,t
k
U0
(6 )
、
2 k
r U j 1 2 1 r2k 2 k
U J r U J 1 k 1・
U j , J
U j
（6）
1后整理得到:
U j 1 (7)
（局部截断误差为
1,2,L 9,k 1,2,L ,199
h2)
1
U j
U J sin
1 2 0
2r U J 1
k
U o
X j
k
U N
sin
2 0
r U j
0,k
0,1,2,L 10
Jh ,J
1
2r2u01, J 1,2,L 9
0,1L ,200
(8)
四•实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件Matlab
%作出数值解的函数图像
subplot(2,2,1);
mesh(x,t,u);
title('u(x,t)数值解的函数图像');
xlabel('x 变量');
ylabel('t 变量');
zlabel('u 值');
%作出精确解的函数图像
subplot(2,2,2);
u1=cos(pi*t).*s in (pi*x);
mesh(x,t,u1);
title('u(x,t)精确解的函数图像');
xlabel('x 变量');
ylabel('t 变量');
zlabel('u 值');
%作出t=0.5 ,1.0 , 1.5, 2.0时刻的绝对误差图像
subplot(2,2,3);
wucha=abs(u-u1);
x=0:h:1;
plot(x,wucha(51,:),'g*-');
hold on
grid on
plot(x,wucha(101,:),'ro-');
hold on
plot(x,wucha(151,:),'ks-');
hold on
plot(x,wucha(201,:),'mp-');
title('t=0.5 , 1.0 , 1.5, 2.0时刻的绝对误差函数图像');
xlabel('x 变量');ylabel('绝对误差值');legend('t=0.5','t=1.0','t=1.5','t=2.0'); %作出t=0.5 , 1.0 , 1.5, 2.0时刻的数值解函数图像
subplot(2,2,4);
x=0:h:1;
plot(x,u(51,:),'g*-');
hold on
grid on
plot(x,u(101,:),'ro-');
plot(x,u(151,:),'ks-'); hold on plot(x,u(201,:),'mp-');
五•实验结果及实例分析
1、u(x,t)在 t=0.5,1.0,1.5,2.0
时刻的数值解、精确解以及绝对误差
)在t=0.5,1.0,1.5,2.0 时刻的数值解
表 1
u(x,t
时刻t
t=0.5,1.0,1.5,2.0
时刻的数值解
-0.005
-0.011 -0.015
-0.018
-0.019
-0.018 -0.015
-0.011
-0.005
t=0.5
9 3
5
2 2 2 5
3 9
-0.309
-0.587 -0.809
-0.951
-0.999
-0.951
-0.809
-0.587
-0.309
t=1.0
7
9
7
t=1.5
0.0020
0.0038 0.0052
0.0061
0.0064
0.0061
0.0052
0.0038
0.0020
t=2.0
0.3090
0.5878
0.8090
0.9511
1.0000
0.9511
0.8090
0.5878
0.3090
表2 u(x,t)在t=0.5,1.0,1.5,2.0 时刻的精确解
时刻t
t=0.5,1.0,1.5,2.0
时刻的精确解
t=0.5
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
-0.309
-0.587 -0.809
-0.951
-1.000
-0.951 -0.809
-0.587
-0.309
t=1.0
8
1
1
8
t=1.5
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
t=2.0
0 0.3090
0.5878 0.8090 0.9511 1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 0
ulnHl9 ■•噩出・■・X ■御■
图1数值解、精确解以及绝对误差函数图像
说明：上两图为函数的数值解与精确解，下两图为t=0.5,1.0,1.5,2.0时刻的数值解、绝对误差函数图像，符合理论解。
教师签名
-可编辑修改-
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