2010工科数学分析基础（微积分）试题一、填空题 (每题6分，共30分)1．函数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≥+=010)(2πx xe x bx a xf bx ，=-→)(lim 0x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足 。

2．=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x x 1lim ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。

3．曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。

4．1=-+xy eyx ，=dy ，='')0(y 。

5．若22lim 221=-+++→x x bax x x ，则=a ，=b 。

二、单项选择题 (每题4分,共20分)1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（ ） （A ）32=a ， （B ）3=a ， (C). 23=a ， （D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（ ）（A ）可导奇函数的导数一定是偶函数； （B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数；（D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；3．设xxx x f πsin )(3-=，则其（ ）（A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点； （D ）有三个可去间断点；4．设x x x x f 3)(+=，则使)0()(n f存在的最高阶数n 为（ ）。

（A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）45．若0)(sin lim30=+→x x xf x x ， 则20)(1lim x x f x +→为（ ）。

（A ）。

0 （B ）61， (C) 1 （D ）∞三．（10分）求xx x x x arctan tan 211lim⋅--++→四．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,,sin )()(x a x xx x g x f ，其中)(x g 具有二阶连续导数，0)0(=g ，1)0(='g ，（1）求a 的值使)(x f 连续；（2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '连续性。

五．（10分）函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+=-+=0,4sin 1,60,arcsin )1ln()(23φπx x x ax x e x x xx ax x f ax 问a 为何值，)(x f 在0=x 处（1）连续；（2）为可去间断点；（3）为跳跃间断点；（4）为第二类间断点；六．（10分）设141=x ， 21+=+n n x x ),2,1(⋅⋅⋅=n ，（1）求极限n n x ∞→lim ； （2）求极限2112)2(4lim -+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n x n n n x x七．（10分）设函数)(x f 在[]b a ,连续，()b a ,可导，证明：至少存在一点∈ξ()b a ,，使ξξξ--='b a f f f )()()(2011工科数学分析基础（微积分）试题一、填空题 (每题6分，共30分)1．=⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→nn n n 11lim ；=+→xxx x x tan )1sin 1(2sin lim 0 。

2．设函数)(x y y =由方程e xy e y=+确定，则=dxdy，曲线)(x y y = 在)1,0(点处切线方程为 。

3．设函数)(x y 由参数方程⎩⎨⎧+-=++=131333t t y t t x 确立，则函数)(x y 单调增加的x 的取值范围是 ，曲线)(x y y =下凸的x 取值范围是 。

4．设当0→x 时，)1(2++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则=a ，=b 。

5．设x x x f sin )(3=，则=')0(f ，=)0()2011(f。

二、单项选择题 (每题4分,共20分)1．下列结论正确的是（ ） （A ）.如果)(x f 连续，则)(x f 可导。

（B ）.如果)(x f 可导，则)(x f '连续. (C). 如果)(x f '不存在，则不)(x f 连续 （D ）.如果)(x f 可导，则)(x f 连续. 2．数列{}n x 极限是a 的充要条件是（ ）（A ）对任意ε＞0，存在正整数N ，当n ＞N 时有无穷多个n x 落在),(εε+-a a 中 （B ）对任意ε＞0，存在正整数N ，当n ＞N 时有无穷多个n x 落在),(εε+-a a 外 (C). 对任意ε＞0，至多有有限多个n x 落在),(εε+-a a 外 （D ）以上结论均不对。

3．设xx x f πsin 1)(2-=，则其（ ）（A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个可去间断点； (C).有两个跳跃间断点； （D ）有两个可去间断点；4．曲线21x xe y =的渐进线有（ ）条。

（A ）1条； （B ）2条； (C).3条； （D ）4条。

5．设)(x f 在a x =可导，则函数)(x f 在a x =不可导的充分条件是（ ） （A ）)(a f ＞0且)(a f '＞0； （B ）)(a f ＜0且)(a f '＜0； (C). )(a f =0且)(a f '≠0； （D ）)(a f =0且)(a f '=0三．（10分）求⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++→13cos 221arctan 1lim 20x x x x x 四．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,,sin )()(x a x xxx g x f ，其中)(x g 具有二阶连续导数，0)0(=g ，1)0(='g ，2)0(=''g ，（1）求a 的值使)(x f 连续；（2）求)(x f '；（3）讨论)(x f '连续性。

五．（10分）比较20122011和20112012的大小，并叙述理由。

六．（10分）)(x f ''＞0，)0(f ＜0，证明函数xx f )(在)0,(-∞和),0(∞+内单调增加。

七．（10分）设)(x f 在[]1,0连续，()1,0可导，0)1(=f ，证：存在)1,0(0∈x 使0)()(000='+x f x x nf ，n 为正整数。

2012工科数学分析基础（微积分）试题一、填空题 (每题6分，共30分)1) 123lim ()5n n nn →+∞+= ； 222321lim sin x x x x x →∞++=+ ． (2) 曲线()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线方程为 ，记该切线与x 轴的 交点为(,0)n ξ，则lim n n n ξ→+∞= ．(3) 设22ln(1)x t t y t ⎧=+⎨=+⎩，则d d yx =212(1)t +，22d d y x=412(1)t -+．(4) cos2x 的Maclaurin （麦克劳林）公式为 cos2x = 设2()cos 2g x x x =，则(4)(0)g = ．(5) 当0x →时，22()f x tan x x =-是x 的 阶无穷小（写出阶数），(0)f '''= ．二、单项选择题 (每题4分,共20分)(1) 以下极限计算中正确的是 ．A ．01lim sin 1x x x →=；B ．1lim sin 0x x x →∞=；C ．011lim sin x x x→=∞； D ．1lim sin 1x x x →∞=．(2) 函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x ⋅-=--在下列哪一个区间内有界？A ．(1,0)-；B ．(0,1)；C ．(1,2)；D ．(2,3)．(3) 对于定义在(1,1)-上的函数()f x ，下列命题中正确的是 ．A ．如果当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，则(0)f 为()f x 的极小值；B ．如果(0)f 为()f x 的极大值，则存在01δ<≤，使得()f x 在(,0)δ-内单调增加，在(0,)δ内单调减少；C ．如果()f x 为偶函数，则(0)f 为()f x 的极值；D ．如果()f x 为偶函数且可导，则(0)0f '=．(4) 若220ln(1)()lim2x x ax bx x →+-+=，则 ． A ．51,2a b ==-； B ．51,2a b ==；C ．1,2a b ==-；D ．0,2a b ==． (5) 设函数()f x 在点0x =的某邻域内三阶可导，且0()lim 11cos x f x x→'=--，则 ．A ．(0)f 为()f x 的一个极大值；B ．(0)f 为()f x 的一个极小值；C ．(0)f '为()f x '的一个极大值；D ．(0)f '为()f x '的一个极小值．三、（10分）已知函数()y y x =由方程221(0)x y y y +=>确定，求d d y x，并求()y y x =的极值．四、（10分） 求极限 sin 260lim ln(1)sin x xx e e x x x x→-+-+五、（10分） 已知函数,0()cos ,0x x f x a b x x x ≤⎧⎪=+⎨>⎪⎩ 在点 0x = 处可导，求常数a和b ．六、（10分）（1）证明：111ln(1)()1n N n n n+<+<∈+； （2）设 111ln ()2n u n n N n +=+++-∈L ，证明数列{}n u 收敛．七、（10分） 设函数()f x 在[0,]π上连续，在(0,)π内可导，(0)0f =．证明：至少存在一点(0,)ξπ∈，使 2()tan ()2f f ξξξ'=⋅．2013工科数学分析基础（微积分）试题一、填空题 (每题6分,共30分)1. nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→11lim = ，曲线1223+=x x y 的渐近线方程为 。

2. 设函数()y f x =由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x cos 12确定，则该函数表示的曲线在π=t 处的切线斜率为____，函数()y f x =在2π=t 处的微分2t dy π==____。

3. 若曲线123+++=bx ax x y 有拐点)0,1(-，则=a ，=b 。

4.长方形的长x 以s cm /2的速率增加，宽y 以s cm /3的速率增加。