于平衡时， 杆AB、BC
所受的力。
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例 题 2- 3 解：取铰B为研究对象，其上作用
有三个力：重力 P；BC 杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力 FAB（设为压力），列出平衡方程
Fx 0, FCBcos 30 FABcos 45 0 Fy 0, P FCBsin 30 FABsin 45 0
即力在某个轴上的投影等于力的模乘以力与该轴的
正向间夹角的余弦。当a、b 为锐角时，Fx、Fy 均 为正值；当a、b 为钝角时，Fx、Fy 为负值。故力
在坐标轴上的投影是个代数量。
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而如将力 F沿正交的
x、y 坐标轴方向分解，则 所 小得与分 力力F在相Fx应、轴Fy上的的大投 影Fx、Fy的绝对值相等。
但是当Ox、Oy 两轴不正
交时，则没有这个关系。
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平பைடு நூலகம்汇交力系
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注意：力的投影是代数量，而力的分量是矢量； 投影无所谓作用点，而分力作用在原力的作用点。 Fy,则反力之F， 的若大已小知和力方F向在为两：正交坐标轴上的投影为Fx、
F Fx2 Fy2
cosa Fx
Fx2
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第 2 章 平面汇交力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
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平面汇交力系的定义：
若力系中各力的作用线在同一平面内且相交于 一点的力系，称为平面汇交力系。
刚体静力学中平面汇交力系可以简化为平面共 点力系。 本章研究的两个问题：


FR F1F2 ... Fn Fi
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2. 平衡 平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力为零， 即: FR=0 ；在几何法中，合力为零即为力多边形自 行封闭。
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3. 三力平衡汇交定理
若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的 作用线相交于一点，则其余一个力的作用线必汇交 于同一点，而且三个力的作用线在同一平面内。
平面汇交力系的合成（简 化）和平面汇交力系的平衡。
研究方法： 几何法和解析法。
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 合成
连续应用力的三角形法则，将各力依次合成。
ABCD称为力多边形。用几何作图求合力的方法，
称为几何法。FR
F1 F2 F3
显然，F1=F2=P 解方程得： FBA 0.366P 7.32 kN (压杆） FBC 1.366P 27.3 kN (压杆）
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求解平面汇交力系平衡问题的一般步骤：
(1) 弄清题意，明确已知量和待求量； (2) 恰当选取研究对象，明确所研究的物体； (3) 正确画出研究对象的受力图（主动力，约束力， 二力构件等）； (4) 合理选取坐标系，列平衡方程并求解； (5) 进行校核，并对结果进行必要的分析和讨论。
P mg 联立上述两方程，解得：
FAB= 88.0 N， FCB= 71.8 N。
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例 题 2- 3
由于求出的
FAB
和
FCB都是正值，所以原先假设
的方向是正确的，即 BC 杆承受拉力，AB 杆承受压
力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与
原假定的方向相反。
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投 影的代数和。
x1 ab , x2 bc , FRx ac FRx x1 x2 同理
FRy y1 y2 推广之
FRx x1 x2 xn FRy y1 y2 yn
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§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1. 力在坐标轴上的投影
图(a)平行光线照射 下物体的影子
图(b)力在坐标轴 上的投影
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由图知，若已知力 的 大小为F 及其与x轴、y轴
的夹角分别为a、b，则
Fx F cosa Fy F cos b F sina
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例 题 2- 1
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利用三力平衡汇交定理确定铰A 处约束力的方位。
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思 考 题 2- 1
试指出图示各力之间的关系。
(a)
(b)
(c)
(d)
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例 题 2- 2
水平梁 AB 中点 C 作用着力 F，其大小等于 20 kN，方向与梁的轴线成 60º角，支承情况如图所 示。试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的约束 力。梁的自重不计。
A
FR y
F 0 y
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在 x轴和y轴上的投影之代数和均等于零。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两 个未知量。
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例 题 2- 3
重物质量m =10 kg, 悬挂在支架铰接点 B 处， A、C 为固定铰支座，杆 件位置如图示，略去支 架杆件重量，求重物处
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思 考 题 2- 3
重量为 P 的钢管C 搁在斜槽中，如图所示。试
问平衡时是否有 FA = P cosq，FB = P cosq ？为什么？
答：FA

P
2 cosq
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例 题 2- 4
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如图所示，重物P=20 kN， 用钢丝绳挂在支架的滑轮B上， 钢丝绳的另一端水平绕在铰车 D上。杆AB与BC 铰接，并以 铰链A，C与墙连接。如两杆 与滑轮的自重不计并忽略铰链 中的摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB 和BC 所受的力。
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例 题 2-4
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解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，得一平面汇交力系。
设杆AB受拉，杆BC 受压，受力图
及坐标如图。 列平衡方程
Fx 0, FBA F1sin 30 F2sin 60 0 Fy 0, FBC F1cos 30 F2 cos 60 0

F
2 y
cos b Fy
Fx2

F
2 y
式中cosa 和cosb 称为力 F的方向余弦。
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思 考 题 2- 2
试分析在图示的非直角坐标系中，力 F沿 x、y 轴方向的分力的大小与力 F在x、y 轴上的投影的大
小是否相等？
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2. 合力投影定理
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例 题 2- 2
解：1. 取梁AB为研究对象。
2. 根据三力平衡汇交定理 画出受力图。 3. 选定合适的比例尺作出 相应的力三角形。
4. 由力三角形中量出： FA = 17.0 kN ， FB = 10.0 kN 它们的方向如图所示。 可见用几何法可以求解两个未知量。
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注意：为避免解联立方程，可把一个轴放在与一个 未知力的作用线相垂直的位置上，这个未知力在轴 上的投影为零，于是投影方程中就只有一个未知数， 不必解联立方程。如在下例中
图(a)
图(b) 这样建立坐标系 FT 和FN相互耦合
图(c) ∑Fx=0, FT－P ·sin30°=0 可求得FT
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3. 合成
FR FR x 2 FR y 2
tan a FR y
FR x
FRx Fx
A
FR y
F y
应用合力投影定理，用解析计算的方法求合力 的大小和方向，称为解析法。
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4. 平衡
FR FR x 2 FR y 2 0
FRx Fx 0
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思 考 题 2- 4
如图所示，匀速起吊
重为
P
的预制梁，如果
要求绳索AB、BC 的拉力
不超过 0.6P ，问a 角应在
什么范围内？
答： P
2sin a
≤0.6P
56.4°≤a < 90°
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