1．71 定积分在几何中的应用
【学习目标】初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法 【重点难点】恰当选择积分变量和确定被积函数,用定积分解决平面图形的面积
一、自主学习
要点1 几种典型的平面图形面积的计算
(1)如图①，f (x )>0，⎠⎛a
b f(x)d x>0， 所以S ＝ ； (2)如图②，f(x)<0，⎠⎛a b f (x)d x<0，所以S ＝
(3)如图③，a≤x≤c 时，f(x)<0，⎠⎛a c f(x)d x<0；当c≤x≤b 时，f(x)>0，⎠⎛c
b f(x)d x>0， 所以S ＝ ；
(4)由两条曲线f(x)和g(x)，直线x ＝a ，x ＝b(a<b)所围成平面图形的面积S.
①如图甲所示，当f(x)>g(x)>0时，S ＝
②如图乙所示，当f(x)>0，g(x)<0时，
S ＝⎠⎛a b f(x)d x ＋⎪⎪⎪
⎪⎠⎛a b d x ＝
二、合作，探究，展示，点评
题型一 利用定积分几何意义求图形面积
例1 求在[0,2π]上，由x 轴与正弦曲线y ＝sin x 围成的图形的面积．
思考题1 由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( )
A .⎠⎛0
2(x 2－1)d x B ．|⎠⎛02(x 2－1)d x| C .⎠⎛02|x 2－1|d x
D .⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛1
2(x 2－1)d x
题型二 不分割型图形面积的求解
例2 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．
题型三 分割型图形面积的求解
例3 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．
思考题3 求由曲线y＝x2和直线y＝x及y＝2x所围成的平面图形的面积．
题型四变更积分元、化繁为简
例4 计算由抛物线y2＝2x与直线y＝x－4所围成图形的面积．
三、知识小结
1．求平面图形面积的一般步骤
(1)画出图形，将其适当分割成若干个曲边梯形．
(2)对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上、下限，用定积分表示其面积．
(3)计算各个定积分，求出所求的面积.
当堂检测
1．如果⎠⎛01
f(x)d x ＝1，⎠⎛02
f(x)d x ＝－1，那么⎠⎛1
2f(x)dx ＝________.
2．已知函数f(x)＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－1
1
f(x)d x ＝2f(a)成立，则a ＝________.
3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2
，0≤x≤1，2－x ，1<x≤2，则⎠⎛0
2
f(x)d x 等于________．
4．若⎠⎛e
b 2x d x ＝6，则b ＝________.
5．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg x ，x>0，
x ＋⎠⎛0a
3t 2d t ，x≤0，
若f[f(1)]＝1，则a ＝________.。