2006年10月高等教育自学考试课程代码：21981．设A 是4阶矩阵，则|-A|=（ ）A ．-4|A|B ．-|A|C ．|A|D ．4|A|2．设A 为n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（ ）A ．（2A ）T =2A TB ．（3A ）-1=3A -1C ．[（A T ）T ]-1=[（A -1）-1]TD ．（A T ）-1=A3．设2阶方阵A 可逆，且A -1=⎪⎭⎫⎝⎛--2173，则A=（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3172C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--3172D ．⎪⎭⎫⎝⎛21734．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）A ．α1，α2，α1+α2B ．α1，α2，α1-α2C ．α1-α2，α2-α3，α3-α1D ．α1+α2，α2+α3，α3+α15．向量组α1=（1，0，0），α2=（0，0，1），下列向量中可以由α1，α2线性表出的是（） A ．（2，0，0） B ．（-3，2，4）C ．（1，1，0）D ．（0，-1，0）6．设A ，B 均为3阶矩阵，若A 可逆，秩（B ）=2，那么秩（AB ）=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．设A 为n 阶矩阵，若A 与n 阶单位矩阵等价，那么方程组Ax=b （ ）A ．无解B ．有唯一解C ．有无穷多解D ．解的情况不能确定8．在R 3中，与向量α1=（1，1，1），α2=（1，2，1）都正交的单位向量是（）A ．（-1，0，1）B ．21（-1，0，1）C ．（1，0，-1）D ．21（1，0，1）9．下列矩阵中，为正定矩阵的是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛003021311B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛111121111C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100021011D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100021011 10．二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 8x x 2x x 4x 3x 4x ++-++的秩等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．行列式0004003002001000=__________. 12．设矩阵A=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ，则AA T =__________. 13．设矩阵A=⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则行列式|A 2|=__________. 14．设向量组α1=（1，-3，α），α2=（1，0，0），α3=（1，3，-2）线性相关，则a=__________.15.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A 的秩等于__________.16．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----100110111的秩等于__________. 17．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b 的解，又已知k 1α1+k 2α2也是Ax=b 的解，则k 1+k 2=__________.18.已知P -1AP=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121,其中P=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210101111，则矩阵A 的属于特征值λ=-1的特征向量是__________.19．设A 为n 阶方阵，已知矩阵E-A 不可逆，那么矩阵A 必有一个特征值为__________.20．实对称矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛530302021所对应的二次型x T Ax=__________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21．计算行列式D=4003043002102001的值.22．设矩阵A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛730210005，B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12201010，求矩阵方程XA=B 的解X.23.设t 1,t 2,t 3为互不相等的常数，讨论向量组α1=（1，t 1,21t ）, α2=（1，t 2,22t ）, α3=（1，t 3,23t ）的线性相关性.24.求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+---=+++=+-+4x x 2x 2x 5x x x 4x 21x 2x x 2x 432143214321的通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25．设矩阵A=⎪⎭⎫⎝⎛--4141.（1）求矩阵A 的特征值和特征向量；（2）问A 能否对角化？若能，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使 P -1AP=D.26．设,x x 4x x 2x ax 2x 4x 4x f 323121232221+-+++=（1）确定α的取值范围，使f 为正定二次型；（2）当a=0时，求f 的正惯性指数p 和负惯性指数q.四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27．设A ，B 为同阶对称矩阵，证明AB+BA 也为对称矩阵.28．若向量组α1，α2，α3可用向量组β1，β2线性表出，证明向量组α1，α2，α3线性相关.全国2008年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r （A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.已知矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，则AB -BA=（ ）A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1201 B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001 D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000 2.设A 为3阶方阵，且3131=-A ，则|A |=（ ） A.-9 B.-3C.-1D.93.设A 、B 为n 阶方阵，满足A 2=B 2，则必有（ ）A.A =BB.A =-BC.|A|=|B|D.|A|2=|B|24.设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且AB =BA ，则下列结论中，不正确．．．的是（ ） A.AB -1=B -1A B.B -1A =A -1BC.A -1B -1=B -1A -1D.A -1B =BA -15.设向量α1=（a 1, b 1, c 1），α2=（a 2, b 2, c 2），β1=（a 1, b 1, c 1, d 1）,β2=（a 2, b 2, c 2, d 2），下列命题中正确的是（ ）A.若α1，α2线性相关，则必有β1，β2线性相关B.若α1，α2线性无关，则必有β1，β2线性无关C.若β1，β2线性相关，则必有α1，α2线性无关D.若β1，β2线性无关，则必有α1，α2线性相关6.设m ×n 矩阵A 的秩r （A ）=n -3（n >3），α,β,γ是齐次线性方程组Ax =0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax =0的基础解系为（ ）A.α,β,α+βB.β,γ，γ-βC.α-β,β-γγ-αD.α,α+β,α+β+γ7.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-132,121是齐次线性方程组Ax =0的两个解，则矩阵A 可为（ ）A.（5，-3，-1）B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112135 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--712321 D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1352211218.设A 为n （n ≥2）阶矩阵，且A 2=E ，则必有（ ）A.A 的行列式等于1B.A 的逆矩阵等于EC.A 的秩等于nD.A 的特征值均为19.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100，则A 的特征值为（ ）A.1，1，0B.-1，1，1C.1，1，1D.1，-1，-110.已知矩阵A 与对角矩阵D =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001相似，则A 2=（ ）A.AB.DC.ED.-E二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格上填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--753240,311102B ，则A T B =__________. 12.已知行列式11103212-a =0，则数a =__________.13.已知向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4212,0510,2001321t ααα的秩为2，则数t =__________. 14.设向量α=（2，-1，21，1），则α的长度为__________. 15.设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β2，β3的秩为__________. 16.设方程组⎩⎨⎧=+=+02022121kx x x x 有非零解，则数k =__________.17.已知向量α=（1，-2，3，4）与β=（3，a ，5，-7）正交，则数a =__________.18.设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r （A ）=__________.19.已知3阶矩阵A 的3个特征值为1，2，3，则|A *|=__________.20.矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--314122421对应的二次型f =__________.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式D=5021011321014321---的值.22.已知A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1013,1102,2141C B ，矩阵X 满足AXB =C ，求解X . 23.设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--402000201，求可逆矩阵P 和对角矩阵Λ，使得P -1AP =Λ.24.设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性.25.已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-λ=++λ-=+λ+-=λ++322321321321x x x x x x x x x ，（1）讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.26.设二次型f （x 1, x 2, x 3）=323121232221222x x x x x x ax ax ax +++++，确定常数a 的最大取值范围使该二次型正定.四、证明题（本大题6分）27.已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，证明存在数k ，使A 2=k A .2009年7月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；R （A ）表示矩阵A 的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。