当a≠0时,函数y=ex+m-1(x≥0)和函数y=ax+b(x<0)都是定高义考域导航内的单调函数, 且函数y=ex+m-1(x≥0)的值域为[m,+∞),
则由题意得函数y=ax+b(x<0)的值域为(m,+∞),
b m,
ex m-1,x 0,
所以a
0,
则函数
f(x)=
ax
m,x
0,
其值域为[m,+∞), |f(x)|的大致图象如图所示,
4
4
当直线l经过点B时,有1=- 1 ×1+a,a5= .
4
4
由图可知,a∈
5 4
,时94 ,
函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外,当直线l与曲线y= 1 ,x>1相切时,
x
恰有两个公共点,
此时a>0.
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联立得
y y
1,
x得
-1 x 4
=-
a,
1x+a1,即
x4
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以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
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借助形的生动性和直观性来阐述 借助于数的精确性和规范性及严
数之间的关系，把数转化为形，即 密性来阐明形的某些属性，即以数
以形作为手段，数作为目的解决数 作为手段，形作为目的解决问题的
学问题的数学思想.
数学思想.
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应用一 数形结合思想在解决方高程考导的航 根或函数 零点问题中的应用 应用二 数形结合思想在求解不等式或参数范 围中的应用 应用三 数形结合思想在向量中的应用 应用四 数形结合思想在解析几何中的应用
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1.已知函数f(x)=
1 2
(x
2
-x),x
0,函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g
log5x,x 0,
(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是 ( B )
A.5 B.6
C.7 D.8
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答案 B 在同一平面直角坐标系中作出y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,
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画出 f(x)在(－3,3)上的图象，cosx 的图象又熟知，运用
数形结合，如图所示，从“形”中找出图象分别在 x 轴上、
下部分的对应“数”的区间为(－π，－1)∪(0,1)∪(π，3)．
2
2
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例2(2)(2019辽宁五校协作体二模,12)已知函数f(x)=
ex ax
m-1,x 高b考,x导航0,
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由图象可知当x>0时,两图象有4个交点,当x≤0时,两图象有2个交点,所以函数 y=f(x)-g(x)一共有6个零点.
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2.(2019非凡联盟调研,7)设a,b,c分别是方程x+3=lo
g
1x,
3
1 3
x
=lo
g
1x,
3
1 3
x
=x+3的
实数根,则有 ( D )
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x2-1ax+1=0,
4
由Δ=a2-4×1 ×1=0,得a=1(舍去负根).
4
综上,a∈
5 4
,∪94 {1}.故选D.
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方法指导 利用数形结合思想探究方程解的问题的关注点：
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(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数,使问题转化为讨论两 图象的交点问题。但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性, 否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键。数形结合应以快和准为 原则,不要刻意去用数形结合.
A.a<b<c B.c<b<a
C.b<a<c D.c<a<b
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答案
D
先分别作出函数y=
1 3
x
,y=lo
g
1 3
x,y=x+3的图象,再观察图象间的交
点的横坐标即可得解,由图知c<a<b,故选D.
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应用二 数形结合思想在求解不等式或参 数范围中的应用 高考导航
例2(1)已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x<3 时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cosx<0的解 集是( )
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应用一 数形结合思想在解决方程的根或函数零点问题
中的应用
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例1
(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)=
2 1 x
x,0 ,x 1.
x
1,
若关于x的方程f(x)=-
1
x+
4
a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为 ( D )
A.
5 4
,
9 4Biblioteka C.5 4A．(－3，－π2)∪(0,1)∪(2π，3) B．(－π2，－1)∪(0,1)∪(π2，3) C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3) D．(－3，－π2)∪(0,1)∪(1,3)
[答案] B
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[解析] 不等式 f(x)cosx<0 等价于
fx>0， cosx<0，
或 fx<0， cosx>0.
,
9 4
∪{1}
B.
5 4
,
9 4
D.
5 4
,
9 4
∪{1}
答案 D 解析 画出函数y=f(x)的图象,如图.
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方程f(x)=- 1 x+a的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=- 1x+a的公共点
4
4
的个数.
当直线l经过点A时,有2=- 1 ×1+a,a9= ;
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1.若不等式 9-x2 ≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=
.
答案 2
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解析 如图,分别作出直线y=k(x+2)- 2与半圆y= 9-x2 .
由题意,直线在半圆的上方,且b-a=2,可知b=3,a=1,所以直线y=k(x+2)- 2过点 (1,2 2 ),则k= 2.
由函数图象易得要使方程|f(x)|=f(m)有4个不相等的实数根,
f (m) 0, am m 0,
则
f
(m)
-m,即
am
m
-m,
因为m<-1, 所以-2<a<-1, 故选D.
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方法指导 利用数形结合思想解不等式或求参数范围问题的技巧： 解不等式或求参数范围问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点, 选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化为 数量关系来解决问题.
0,其中m<-1,对于
任意x1∈R且x1≠0,均存在唯一实数x2,使得f(x2)=f(x1),且x1≠x2,若|f(x)|=f(m)有4
个不相等的实数根,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(-1,0) C.(-2,-1)∪(-1,0) D.(-2,-1)
(2)答案 D
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解析 当a=0时,显然不符合题意;