幂级数及泰勒展开习题解答幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n n a n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛，当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。

2. 11n n n -∞=解：11lim 2n n n na a +→∞==2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=为收敛的交错级数，当2x =-时，111n n n n -∞∞===- ⇒ 收敛区间为(2,2]-。

3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑ 解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=， 当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。

4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。

当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。

5. 1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。

当0x =时，因为1ln(1)ln lim lim lim 011n x x n x x n x →∞→+∞→+∞+===+，2ln 1ln ln(2)ln(1)()()0() 3 21x x n n f x f x x e n x x n n -++'=⇒=<>⇒≥<++时， 所以 1(1)ln(1)1n n n n ∞=-++∑收敛，当2x =时，因为当2n ≥时ln(1)11112n n n n +>>++ 所以1ln(1)1n n n ∞=++∑发散，⇒ 收敛区间为[0,2)。

6. 211(1)(1)4n n nn x n ∞-=--∑解：2121211(1)41lim lim 1(1)(1)44n n n n n n n n u x n x u x n ++-+→∞→∞-==--+ 故当2111124x x -<⇒-<，即13x -<<时级数绝对收敛。

当1x =-时， 12111(1)1(1)(11)42n n n nn n n n -∞∞-==----=∑∑为收敛的交错级数， 当3x =时， 2111(1)1(1)(31)42n n n nn n n n ∞∞-==---=∑∑为收敛的交错级数， ⇒ 收敛区间为[1,3]-。

二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数1. 1211(1)21n n n x n +-∞=--∑解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。

当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为[1,1]-。

令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑ 122220111()(1)()(0)arctan 11()arctan (1).x n n n S x x S x S dt x x tS x x x ∞+-='⇒=-=⇒-==++⇒=≤∑⎰ 2. 2112n n nx ∞-=∑解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。

当1x =-时， 21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时， 12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛区间为(1,1)-。

令211()2(0)0n n S x nx S ∞-==⇒=∑22122011222()212()(||1).11xxn nn n x S t dt ntdt x x x xS x x x x ∞∞-==⇒===-'⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭∑∑⎰⎰3. 1(1)n n n n x ∞=+∑解：1(1)(2)limlim 1(1)n n n n a n n a n n +→∞→∞++==+ 1R ⇒=当1x =时，1(1)n n n ∞=+∑发散；当1x =-时，1(1)(1)n n n n ∞=+-∑发散，⇒ 收敛区间为(1,1)-。

令1()(1)(0)0n n S x n n x S ∞==+⇒=∑12111122221223()(1)1(1)2()(||1).(1)(1)xxnn n n n n n n S t dt n n t dt nxxnxx x x x x x x x xS x x x x ∞∞∞+-===∞=⇒=+==''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭'⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭∑∑∑⎰⎰∑4. 221(21)2n n n x n ∞-=-∑解：22122(21)2lim lim 2(1)(21)n n n n n nu x n n x u x n n +-→∞→∞+==+-故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散。

当1x =±时， 11211122n n n n n ∞∞==-⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑（通项不趋于零）发散， ⇒ 收敛区间为(1,1)-。

令221211()(0)22n n n S x x S n ∞-=-=⇒=∑2221211011121121211111()()(0),(0)0222()(||1)1xxn n nn n n n n n S t dt t dt x x S x x S n n x n xxS x x x x ∞∞∞--===∞-=-⇒===≠='⇒==<-∑∑∑⎰⎰∑21120211()(0)ln(1)121()ln(1)2xt S x S dt x t S x x ⇒-==---⇒=--⎰2222ln(1)1ln(1)0 , ()212x x x S x x x x '⎛⎫--⇒≠=-=+ ⎪-⎝⎭时 故2221ln(1), 0||112()1 , 02x x x x S x x ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩ 另解22222222111111111()121212n n n n n n S x x x x n x nx x n ∞∞∞--===⎛⎫=-=-=- ⎪--⎝⎭∑∑∑ 三、求下列级数的和1. 2211112322323nn n n n n n n n -∞∞∞======⎝⎭∑∑也可以考虑利用幂级数12111(||1)1(1)n n n n x nxx x x x ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫===< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑ ⇒ 121122121333332113n n n n n n -∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑ 2. 1111(1)111(1)(21)(21)22121n n n n n n n n -∞∞-==-⎛⎫=-- ⎪-+-+⎝⎭∑∑11111111(1)(1)(1)221221n n n n n k n n ∞∞--===---=--+∑∑ 1121111(1)(1)221221n k n k n k ∞∞-===-----∑∑1111(1)212n n n ∞-==---∑1arctan12142π=-=-四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数 1.()(0,1)x f x a a a =>≠解：()()()(ln ) (0)(ln )n x n n n f x a a f a =⇒=()00(0)(ln )!!n n n nn n f a x x n n ∞∞==⇒=∑∑， 1ln limlim 01n n n n a a R a n +→∞→∞==⇒=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。

再由 (1)11111()(ln )(ln )lim |()|lim lim lim ||0(1)!(1)!(1)!n x n n n n n n n n n x f x a a a R x x x M x n n n θθ++++++→∞→∞→∞→∞==≤=+++ 因xa θ有界，11(ln )||(1)!n n a x n +++是收敛级数0(ln )!n n n a x n ∞=∑()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。

⇒xa =0(ln )!n nn a x n ∞=∑()x -∞<<+∞。

2. ()sin 2xf x =解：()()210, 211()sin (0)sin (1)22222, 212n n kn n k n kn x n f x f n k ππ+=⎧⎪⎛⎫=+⇒==⎨- ⎪=+⎝⎭⎪⎩ ()212100(0)(1)!2(21)!n nn n n n n f x x n n ∞∞++==-⇒=+∑∑， 由 2321123212(21)!lim lim 02(23)!n n n n n n n nu x n R u n x +++++→∞→∞+==⇒=+∞+故该级数的收敛区间为(,)-∞+∞。

再由2323232323sin ||22lim |()|lim lim 02(23)!2(23)!n n n n n n n x n x x R x x n n θπ++++→∞→∞→∞+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=≤=++ 因2323||2(23)!n n x n +++为绝对收敛级数21210(1)2(21)!nn n n x n ∞++=-+∑()x -∞<<+∞的一般项，所以对任意的x 上式均成立。