1.2.1 函数的概念自主学习1．理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2．通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域．3．了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用．设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．2．函数的三要素是定义域、值域和对应关系．3．由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同．4．(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]．(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)．(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．(4)实数集R用区间表示为(－∞，＋∞)．(5)把满足x≥a.，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．对点讲练判断对应是否为函数【例1】判断下列对应是否为函数：（1）x→2x，x≠0，x∈R；（2）x→y，这里y2＝x，x∈N，y∈R；(3)集合A＝R，B＝{－1,1}，对应关系f：当x为有理数时，f(x)＝－1；当x为无理数时，f (x )＝1，该对应是不是从A 到B 的函数？分析 函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y 与之对应．解 (1)对于任意一个非零实数x ，2x被x 唯一确定，所以当x ≠0时，→2x是函数，这个函数也可以表示为f (x )＝2x(x ≠0)．（2） 当x=4时，y 2=4，得y=-2,不是有唯一值和x 对应，所以，x →y (y 2＝x )不是函数．(3)是函数，满足函数的定义，在A 中任取一个值，B 中有唯一确定的值和它对应． 规律方法 判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A 、B ，一个对应关系f ，A 中任一对B 中唯一(即多对一或一对一)．变式迁移1 判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数：（1）A=R ，B=R ，对任意的x ∈A ，x →x 2；（2）A={（x ，y ）|x ，y ∈R}，B=R ，对任意的（x ，y ）∈A ，（x ，y ）→x+y ； （3）A=B=N*，对任意的x ∈A ，x →|x-3|. 解 (1)是．(2)不是，因为集合A 不是数集．(3)不是，因为当x ＝3时，在集合B 中不存在数值与之对应．已知解析式求函数的定义域【例2】 求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x ； (2)y ＝－x 2x 2－3x －2； (3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.分析 求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围．解 (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥0，2x 2－3x －2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ≠2且x ≠－12⇔x ≤0且x ≠－12.故函数y ＝－x2x 2－3x －2的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0. (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x >0，x ≠0.解得－32≤x <2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0∪(0,2)． 规律方法 求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等． 变式迁移2 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝6x 2－3x ＋2； (2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； (3)f (x )＝x ＋0|x |－x .解 (1)由x 2－3x ＋2≠0，得x ≠1，x ≠2. ∴f (x )＝6x 2－3x ＋2的定义域是{x ∈R |x ≠1且x ≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥01－2x ≥0，得13≤x ≤12.∴f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0|x |－x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1|x |≠x ，∴x <0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠－1}．两函数相同的判定【例3】下列各题中两个函数是否表示同一函数：(1)f(x)＝x，g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝x，g(x)＝x2；(3)f(t)＝t，g(x)＝3x3；(4)f(x)＝x2－4x－2，g(x)＝x＋2.分析要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数．解(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同，故不是同一函数．(2)g(x)＝x2＝|x|，两个函数对应关系不同，故不是同一函数．(3)g(x)＝x，两者的定义域和对应关系相同，故是同一函数．(4)f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数．规律方法只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应关系不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系；(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关．变式迁移3 试判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)＝x·x＋1与g(x)＝x x＋；(2)f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t；(3)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)．解(2)是，(1)、(3)不是．对于(1)，f(x)的定义域为[0，＋∞)，而g(x)的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．(3)也是定义域不同．求函数的值域【例4】 (1)已知函数f(x)＝x2－2x，定义域A＝{0,1,2,3}，求这个函数的值域；(2)求函数f(x)＝1x2＋1，x∈R，在x＝0,1,2处的函数值及该函数的值域．解 (1)函数的定义域为A ＝{0,1,2,3}，分别令x ＝0,1,2,3得相应的函数值分别为0，－1,0,3，于是知，函数的值域为{－1,0,3}． (2)f (0)＝1，f (1)＝12，f (2)＝15.容易看出，这个函数当x ＝0时，取得最大值，当自变量x 的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0. 从而可知，这个函数的值域为(0,1]．规律方法 (1)求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数，其值域是指集合C ＝{y |y ＝f (x )，x ∈A }；二是函数的定义域和对应关系．对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f (x )＝x 2－2x ，x ∈[0,2]与f (x )＝x 2－2x ，x ∈R .(2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．变式迁移4 (1)函数f (x )＝x －1(x ≥1)的值域为________(用区间表示)； (2)函数y ＝2x(1≤x ≤2)的值域为______(用区间表示)．答案 (1)[0，＋∞) (2)[1,2]1．函数符号y ＝f (x )是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下即可得到y ”．在学习过程中，不容易认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值．2．正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义．3．区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具．课时作业一、选择题1．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( )A ．A ＝B ＝R ，f (x )＝|x | B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1xC ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0答案 B解析 在B 项中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它对应的数．2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则ff ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35答案 B解析 ∵f (2)＝22－122＋1＝35，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝－35∴ff ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1.3．函数y ＝x －0|x |＋x的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0|x |＋x >0，得x >0且x ≠1.4．下列各组函数表示同一函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3 B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z 答案 C解析 A 中的两函数定义域不同，B 中的两函数值域不同，D 中的两函数对应关系不同，C 正确．5．给出四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素；③因f (x )＝5(x ∈R )，这个函数值不随x 的变化而变化，所以f (0)＝5也成立；④定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了． 以上命题正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 D二、填空题6．将集合{x |2≤x ≤8}表示成区间为____________． 答案 [2,8] 7．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝________. 答案 2或128．函数y ＝x 2－2的定义域为{－1,0,1,2}，则其值域为________． 答案 {－1，－2,2} 三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝5－x |x |－3； (2)y ＝x 2－1＋1－x2x －1.解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5x ≠±3，在数轴上标出，如图，即x <－3或－3<x <3或3<x ≤5.故函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． 当然也可以表示为{x |x <－3或－3<x <3或3<x ≤5}．(2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，x －1≠0，解得x ＝－1∴函数的定义域为{－1}． 10．已知函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13； (2)由(1)中求得结果，你能发现f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 有什么关系？并证明你的发现； (3)f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 010)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 010.解 (1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＝221＋22＝45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝15， f (3)＝321＋32＝910，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝110. (2)由(1)可发现f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1，证明如下： f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋11＋x 2＝1. (3)由(2)知：f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，…， f (2 010)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 010＝1， ∴原式＝12＋1＋1＋1＋…＋12 009个＝2 009＋12＝4 0192. 【探究驿站】11．已知f (x )的定义域为(0,1]，求g (x )＝f (x ＋a )·f (x －a ) (a ≤0)的定义域． 解由已知得即用数轴法，讨论(1)当a ＝0时，x ∈(0,1]；(2)当a ≤－12时，x ∈∅，即函数不存在；(3)当－12<a <0时，x ∈(－a .,1+a]．。