《理论力学》复习题
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第一章质点力学
点沿空间曲线运动，在点M 处其速度为j i v
34+= ，加速度a
与速度
v
夹角030=β，且2/10s m a =。

求轨迹在该点密切面内的曲率半径ρ和
切向加速度τa 。

答：由已知条件j i v
34+=得
s m v /53422=+= 法向加速度20/530sin s m a a n == 则曲率半径m a v n
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==ρ 切向加速度 20/66.830cos s m a a ==τ
一点向由静止开始作匀加速圆周运动，试证明点的全加速度和切向加速度的夹角α与其经过的那段圆弧对应的圆心角β之间有如下关系βα2tan =
证明：设点M 沿半径为R 的圆作圆周运动，t 时刻走过的路程为AM=s ，速度为v ，对应的
圆心角为β。

由题设条件知
()
()b C ds
dv v dt dv a a Ra v a a n ===
==τττα2
tan
C 为常数 积分(b)式得⎰⎰=s
v
ds a vdv 00τ 所以()c s a v τ22= 将（c ）式代入（a ），并考虑βR s =，所以βα2tan =
质点M 的运动方程为)(2),(32m t y m t x == 求t=1秒时，质点速度、切向加速度、法向加速度的大小。

解：由于)(44),(3s
m t y s m x
=== 所以有()
s m y x v 516922=+=+= 又：222169t y x
v +=+= 则()()
()s m
t
t t t v
a t 2.3169232321692
12
121
21
2=+=⋅+==-
()
()()
s
m
a a a s
m y
x a s m y x t n 4.22.3164,4,02
2222=-=-==+===
点M 沿半径为R 的圆周运动。

如果
K K a a n
(-=τ
为已知常数），以初始位置为原点，原点初速度为0v 。

求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。

解：设点的初始位置为A 。

依题意
KR
v K a a dt dv n 2
-=-==τ 积分上式⎰⎰-=v
v
t
dt KR v dv 00
2
1 KR t v v -=-110 得t v KR RKv v 00+= 则弧坐标形式的运动方程为⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=+=⎰KR t v KR dt t k KR KRv s t
00001ln
当20v v =
时0
v KR t =
一质点沿圆滚线θsin 4a s =的弧线运动，如θ 为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。

式中θ为圆滚线某点P 上的切线与水平线（x 轴）所成的角度，s 为P 点与曲线最低点之间的曲线弧长。