突破练(二)
1．已知函数f (x )＝A sin (ωx －π6)(ω＞0)相邻两个对称轴之间的距离是π2，且满足f (π
4)＝ 3.
(1)求f (x )的单调递减区间；
(2)在钝角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，sin B ＝3sin C ，a ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意知周期T ＝π，∴ω＝2，
因为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＝3，所以A ＝2，f (x )＝2sin (2x －π6)，
由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π3＋k π≤x ≤5π
6＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递减区间为[π3＋k π，5π
6＋k π](k ∈Z )． (2)由题意b ＝3c ，f (A )＝2sin (2A －π
6)＝1， ∴sin (2A －π6)＝1
2，
∵ －π6＜2A －π6＜11π6，∴A ＝π6或π2，
因为△ABC 为钝角三角形，所以A ＝π2舍去，故A ＝π
6， ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝3c 2＋c 2－23c 2×3
2＝c 2，
所以c ＝2，b ＝23，S △ABC ＝12×23×2×1
2＝ 3. 2．已知正项等比数列{a n }满足a 2＝19，a 4＝1
81，n ∈N *
(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n log 3a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1b n 的
前n 项和T n ，
解 (1)设公比为q .∵a 4a 2
＝1
9＝q 2，
∴q ＝13或q ＝－13.
又数列{a n }为正项等比数列，∴q ＝1
3. 又∵a 2＝19. ∴a 1＝1
3， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n
，n ∈N *.
(2)∵b n ＝log 3a n ·log 3a n ＋1，n ∈N *， ∴b n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. ∴1b n
＝
1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
.
∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1
.
3．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
若广告费支出x 与销售额y 回归直线方程为y ^
＝6.5x ＋a (a ∈R )． (1)试预测当广告费支出为12万元时，销售额是多少？
(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率． 解 (1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，
y ＝
30＋40＋50＋60＋70
5
＝50，
因为点(5,50)在回归直线上，代入回归直线方程求得a ＝17.5， 所求回归直线方程为：y ^
＝6.5x ＋17.5，
当广告支出为12时，销售额y ^
＝6.5×12＋17.5＝95.5. (2)实际值和预测值对应表为
x 2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
y ^
30.5 43.5 50 56.5 69.5
在已有的五组数据中任意抽取两组的基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个， 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的有(60,50)，
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为P ＝1－110＝910.
4．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，侧面AA 1CC 1是正方形，E 是A 1B 的中点，F 是棱CC 1上的点．
(1)若F 是棱CC 1的中点时，求证：AE ⊥平面A 1FB ； (2)当V E －ABF ＝93时，求正方形AA 1C 1C 的边长． (1)证明 取AB 的中点为M ，连接EF ，EM ，CM ，
因为E 是A 1B 的中点，F 是棱CC 1中点， 所以EM ∥AA 1，FC ∥AA 1，EM ＝FC ＝1
2AA 1， 则四边形EMCF 是平行四边形，所以EF ∥CM ， 又因为△ABC 为正三角形，侧面AA 1C 1C 是正方形， ∴AA 1＝AB ，所以AE ⊥A 1B ，CM ⊥AB ， 因为侧棱AA 1⊥平面ABC ，所以CM ⊥AA 1，
∴CM ⊥平面A 1AB ，∴EF ⊥平面A 1AB ，所以EF ⊥AE ， 又因为AE ⊥A 1B ，A 1B ∩EF ＝E ，所以AE ⊥平面A 1FB .
(2)解 设正方形AA 1C 1C 的边长为x ， 由于E 是A 1B 的中点，△EAB 的面积为定值，
∵CC 1∥平面AA 1B ，∴点F 到平面EAB 的距离为定值， 即为点C 到平面AA 1B 的距离，
又V E －ABF ＝V F －ABE ，且V F －ABE ＝1
3S △ABE ·h ＝9 3. 即13·12·x ·
x 2·32x ＝93，
∴x 3＝216，∴x ＝6.所以正方形的边长为6.
5．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －2y ＋35＝0相切，点A 为圆上一动点，AM ⊥x 轴于点M ，且动点N 满足ON →＝33OA →＋(1－33)OM →
，设动点N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；
(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值． 解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AM ⊥x 轴于M ，所以M (x 0,0)，设圆C 1的方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意得r ＝|35|
1＋4
＝3，所以圆C 1的方程为x 2＋y 2＝9， 由题意，ON →＝33OA →＋(1－33)OM →， 得(x ，y )＝33(x 0，y 0)＋(1－3
3)(x 0,0)，
所以⎩⎨⎧
x ＝x 0，y ＝3
3y 0，
即⎩⎨⎧
x 0＝x ，
y 0
＝3y . 将A (x ，3y )代入x 2
＋y 2
＝9，得动点N 的轨迹方程x 29＋y 2
3＝1.
(2)由题意可设直线l ：2x ＋y ＋m ＝0，设直线l 与椭圆x 29＋y 2
3＝1交于B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
联立方程⎩⎨⎧
y ＝－2x －m ，
x 2＋3y 2
＝9
得13x 2＋12mx ＋3m 2－9＝0，
Δ＝144m 2－13×4(3m 2－9)＞0，解得m 2＜39， x 1,2＝－12m ±468－12m 226＝－6m ±117－3m 2
13，
又因为点O 到直线l 的距离d ＝
|m |
5
， BD ＝5·|x 1－x 2|＝5·2117－3m 2
13，
所以S △OBD ＝12·|m |
5
·5·2117－3m 213
＝m 2(117－3m 2)13＝3m 2(39－m 2)13≤332(当且仅当m 2＝39－m 2即m 2＝392时取
到最大值)．
所以△OBD 面积的最大值为33
2. 6．设函数f (x )＝ln x －14x 2－1
2x . (1)求f (x )的单调区间和极值；
(2)若g (x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋14x 2＋1，当x ＞1时，g (x )在区间(n ，n ＋1)内存在极值，求整数n 的值．
解 (1)f ′(x )＝1x －12x －12＝－x 2
－x ＋2
2x
(x ＞0)，
令f ′(x )＝0，解得x ＝1(－2舍去)， 根据x ，f ′(x )，f (x )的变化情况列出表格：
x (0,1) 1 (1，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － f (x )
递增
极大值－3
4
递减
由上表可知函数f (x )的单调增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)， 在x ＝1处取得极大值－3
4，无极小值． (2)g (x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
f (x )＋14x 2＋1＝x ln x －12x 2＋x ，
g ′(x )＝ln x ＋1－x ＋1＝ln x －x ＋2，
令h(x)＝ln x－x＋2，∴h′(x)＝1
x－1＝
1－x
x，
因为x＞1，∴h′(x)＜0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)为单调递减函数，
因为h(1)＝1＞0，h(2)＝ln 2＞0，h(3)＝ln 3－1＞0，h(4)＝ln 4－2＜0.
所以h(x)在区间(3,4)上有零点x0，且函数g(x)在区间(3，x0)和(x0,4)上单调性相反，因此，当n＝3时，g(x)在区间(n，n＋1)内存在极值，所以n＝3.。