对麦克斯韦方程组的理解学生姓名：吴汉学号：20093380指导教师：黄维课程名称：电磁波原理二0一一年十二月摘要麦克斯韦（Maxwell）的电磁场理论是继牛顿之后又一次划时代的伟大成就，它的建立标志着电磁学的研究发展到了一个新阶段，并开拓了广泛的研究领域。

麦克斯韦在总结了电磁现象的实验规律和提出位移电流假设之后，把电磁理论总结为麦克斯韦方程组。

它既有实验基础，又是经科学分析和实验检验过的方程。

麦克斯韦方程组是研究电磁问题的基石，对于不同方向的研究所采用方程组的形式也不同。

同时，麦克斯韦方程组中蕴含着深刻的哲学思想。

关键词：电磁场理论，麦克斯韦方程组，积分，微分，复数，哲学思想目录摘要 (II)1麦克斯韦方程组的提出过程 (4)1.1 力线与恒定流速场类比的提出 (4)1.2 电磁以太力学模型的提出 (1)1.3 电磁场动力学理论的提出 (1)2 麦克斯韦方程组的三种形式 (6)2.1 麦克斯韦方程组的微分形式.......................................................... 错误！未定义书签。

2.1.1 麦克斯韦方程组的非限定形式 (3)2.1.2 麦克斯韦方程组的完备性 (3)2.2 麦克斯韦方程组的积分形式.......................................................... 错误！未定义书签。

2.3 麦克斯韦方程组的复数形式.......................................................... 错误！未定义书签。

3 麦克斯韦方程组中蕴含的哲学思想 (5)3.1 麦克斯韦方程组中的演绎与归纳 (5)3.2 麦克斯韦方程组建立在客观实在的物质基础上 (5)3.3 麦克斯韦方程组真理性的实践检验 (5)致谢 (6)参考文献 (7)1 麦克斯韦方程组的提出过程1.1 力线与恒定流速场类比的提出1856年，麦克斯韦完成了电磁学领域的第一篇论文——《论法拉第的力线》，文中他利用当时最先进的数学工具对电磁场中的力线做了几何解释，并将法拉第的力线考虑成不可压缩的流体运动的流线。

《论法拉第的力线》是麦克斯韦试图用数学工具表达法拉第学说的开端。

在论文中，麦克斯韦将法拉第的力线类比成不可压缩流体的流动。

论文的开头这样写道：“为了不用物理理论而得到思想，我们必须熟悉物理类比的存在，我指的是一种科学的定律和另一种科学定律之间的部分相似性，它使得这两种学说可以互相说明。

于是，所有数学科学都是建立在物理学定律与数的关系上。

因而，精密科学的目的，就是把自然界的问题简化为通过数学的运算来确定各个量，从最普遍的类比过渡到部分类比，我们就可以在两种不同的产生光的物理理论的现象之间找到数学形式的相似性。

[1]”该论文将电磁现象中的电位移矢量、电场强度矢量与电磁感应强度矢量、磁场强度矢量区分开来，使得电磁现象的描述中令人困惑的两类矢量各居其位，并推动了电磁理论工作的研究沿着正确的道路前进。

1.2 电磁以太力学模型的提出麦克斯韦于1862年发表了他的第二篇电学研究论文——《论物理力线》。

《论物理力线》一文试图将第一篇论文所作的类比研究进一步推进到建立电磁作用的力学模型。

他吸取了前人的思想，把传递磁相互作用的磁以太想象为一些分子涡旋，把传递电相互作用的电以太想象为分子涡旋之间与之啮合的可动的细微粒子。

靠着它们的啮合运动说明电流产生磁场、电磁感应以及静电作用。

在这个模型的基础上，麦克斯韦对变化的磁场能产生感应电动势的现象进行了深入的分析，认为即使不存在导体回路，变化的磁场通过媒介也会激发一种场，他称这种场为感应电场或涡旋电场。

同时麦克斯韦还发现：在连接交变电源的电容器中，电介质内并不存在自由电荷，也就是没有传导电流，但磁场却同样存在。

经过反复思考和分析，麦克斯韦毅然指出：这里的磁场是由另一种类型的电流形成的，这种电流存在于任何电场变化的介质中[2]。

麦克斯韦把这种电流称为“位移电流”。

这是一篇划时代的论文，它与1856年《论法拉第的力线》相比有了质的飞跃。

“涡旋电流”和“位移电流”的概念是这篇论文的杰出之处。

1.3 电磁场动力学理论的提出1864年，麦克斯韦向皇家学会提交了他的第三篇电学论文《电磁场的动力学理论》，这是一篇关于电磁场理论最重要的总结性论文。

通过前两篇论文关于力线与恒定流速场的类比研究以及电磁以太力学模型的阐述，麦克斯韦把握电场和磁场中最本质的特征就是涡旋电场、位移电流和电磁波的概念。

他感到需要在实验事实和普遍的动力学原理的基础上提出一个全新的理论框架——电磁场的动力学理论。

论文中他系统的总结了从库伦、安培到法拉第以及他自己的研究成果，提出了一共包含20个变量的二十个方程式，即著名的麦克斯韦方程组。

麦克斯韦从这些基本方程导出波动方程，证明了电磁波是一种横波，并求得电磁波的传播速度在空气中等于电量的电磁单位与静电单位之比，即等于空气或真空中的光速。

他由此得出结论：“这一速度与光速如此接近，看来我们有强烈的理由断定，光本身乃是以波的形式在电磁场中按电磁规律传播的一种电磁扰动”——这就是“光的电磁学说”[3]。

这样，早先法拉第关于光的电磁理论的朦胧猜想，由麦克斯韦把它变成了科学的严谨推论。

2 麦克斯韦方程组的三种形式2.1 麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦基于四大定律（库仑定律、电荷守恒定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律）提出的麦克斯韦方程组形式如下所示ρ∂∇⨯=-∂∂∇⨯=+∂∇∙=∇∙=(2.1.1)(2.1.2)(2.1.3)0(2.1.4)V BE t DH J tD B其中E 表示电场强度（伏特/米），D 表示电位移矢量（库伦/平方米），B 表示磁感应强度（韦伯/平方米），H 表示磁场强度（安培/米），J 表示电流密度（安培/平方米），ρ表示电荷密度（库伦/立方米）[4]。

由麦克斯韦方程组可进一步导出电流连续性方程ρ∂∇∙=-∂(2.1.5)VJ t 。

2.1.1 麦克斯韦方程组的非限定形式由于取（2.1.1）式的散度，并使其对时间的积分为零可得到（2.1.4）式；取（2.1.2）式的散度，并利用电荷守恒定律（2.1.5）式可得到（2.1.3）式。

所以麦克斯韦方程组并不是独立的。

从（2.1.1）式到（2.1.5）式可以取（2.1.1）、（2.1.2）和（2.1.5）三个方程或者（2.1.1）、（2.1.2）和（2.1.3）三个方程作为独立方程，这样的3个独立方程称为麦克斯韦方程组的非限定形式。

2.1.2 麦克斯韦方程组的完备性因为一个矢量方程等效于3个标量方程，以上所述的3个独立方程实际上是由7个标量方程组成的。

每一个矢量函数有3个分量，所以就有16个未知标量函数。

显然要求这些未知量，3个独立方程是不足以构成一个完整的方程系的。

因此，麦克斯韦方程组中的3个独立方程是不完备的。

为了解出场量，必须附加一些条件，增加一些独立方程。

介质结构关系的引入就解决了这个问题。

例如，在各向同性的线性介质中，结构关系如下：εμσ===(2.1.6)(2.1.7)(2.1.8)D E B H J E其中，ε表示介质电容率，μ表示磁导率，σ表示电导率。

（2.1.6）至（2.1.8）式又给出了9个标量方程，16个未知量的16个独立方程使得麦克斯韦方程组变成限定的。

这样当结构关系已知时，麦克斯韦方程组是完备的[5]。

2.2 麦克斯韦方程组的积分形式对以上微分形式利用数学中的高斯公式和斯托克斯公式便可得到积分形式的麦克斯韦方程组。

∂∙=-∙∂∂∙=+∙∂∙=∙=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (2.2.1)()(2.2.2)(2.2.3)0(2.2.4)l slsssBE dl ds t DH dl J ds tD ds Q B ds相应的电流连续性方程为∙=-⎰ (2.2.5)sdQJ ds dt。

可以利用麦克斯韦方程组的积分形式推出两介质界面上的边界条件。

如下所示ρ=-=-==12121212(2.2.6)(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)t t t t s n n s n n E E H H J D D B Bρ⨯-=⨯-=∙-=∙-=12121212ˆ()0(2.2.10)ˆ()(2.2.11)ˆ()(2.2.12)ˆ()0(2.2.13)s s nE E nH H J nD D nB B 公式(2.2.6)至（2.2.9）式为电磁场边界条件的代数式，公式（2.2.10）至（2.2.13）式为电磁场边界条件的矢量式。

其中t 代表界面的切线方向，n 代表界面的法向方向。

2.3 麦克斯韦方程组的复数形式在谐变电磁场中，场量取如下形式ωω== (,,,)(2.3.1)(,,,)(2.3.2)j t j t E x y z t EeH x y z t He谐变电磁场的麦克斯韦方程组的复数形式可写为ωωρ∇⨯=-∇⨯=+∇∙=∇∙= (2.3.3)(2.3.4)(2.3.5)0(2.3.6)vEj B H J j D DB式中 E 、 H 、 D 、 B 和 J 都是复矢量，ρ v 是复数。

同时可以得出相应的电流连续性方程为ωρ∇∙=- (2.3.7)v J j 。

这些式子表明，采用复数形式后，各场量都换成了复矢量，而对时间变量的求导∂∂(/)t 则换成了简单的因子ωj 。

3 麦克斯韦方程组中蕴含的哲学思想3.1 麦克斯韦方程组中的演绎与归纳归纳与演绎是人类思维从个别到一般，又由一般到个别的最常见的推理形式。

归纳是从个别事实归纳出一般性结论，是一种有个别性前提过渡到一般性结论的推理形式。

麦克斯韦方程组正是由麦克斯韦经过系统得总结了从库伦、安培到法拉第以及他自己的研究成果基础之上而推导出来的一般性结论。

演绎是从一般原理走向个别结论的思维方法，是由一般性原则推导出个别结论的推理形式。

麦克斯韦方程组作为一般原理推导出电流连续性方程和波动方程等具体结论的过程即是对演绎这一概念的最佳诠释。

3.2 麦克斯韦方程组建立在客观实在的物质基础上物、物质无非是各种物的总和，而物质这一概念就是从这一综合中抽象出来的。

这就是说，物质将感官可感知的许多不同事物依照其共同的属性概括起来[6]。

虽然麦克斯韦方程组所揭示的电磁场不具有实物性，它也没有静止质量，但是电磁场同具有静止质量的实物一样，都是物质的一种特殊形式，是真实的客观存在的。

电场和磁场是基本的物理量，在实验中可以测量他们，并且场的这一思想已经成为人们认识和研究微观及宏观物质世界的一种重要思想。

因此，可以说麦克斯韦方程组是建立在客观实在的物质基础上的，不以任何人的意志而转移。

3.3 麦克斯韦方程组真理性的实践检验实践是检验真理的唯一标准。