参数方程与极坐标参数方程知识回顾：一、 定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数t 的函数，x f （t ）即y f （t ），其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （ x ， y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数t叫做参变数，简称参数. 二、 二次曲线的参数方程 1、圆的参数方程：中心在（x o , y o ）,半径等于r 的圆:{ x r cos特殊地，当圆心是原点时，、y r si n注意：参数方程没有直接体现曲线上点的横纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横纵 坐标与参数间的关系。
Eg1 :已知点P (x , y )是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上的动点，求:（1 ） x 2+y 2的最值；（2 ） x+y 的最值；（3 ）点P 到直线x+y-1=0 的距离d 的最值。
Eg2 :将下列参数方程化为普通方程总结：参数方程化为普通方程步骤： （1 ）消参（2 ）求定义域 2、椭圆的参数方程:中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆:x x 0 rcos 〔y y o rsin（为参数，的几何意义为圆心角）(1 ) x=2+3cosy=3sin1(|3) x=t+ 一t Y 2 1I y=t 2+ ”x=s iny=cos4、抛物线的参数方程:顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x 2pt 2y 2pt（t 为参数，p > 0 , t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数）直线方程与抛物线方程联立即可得到。
三、一次曲线（直线）的参数方程x a cos y bsin（为参数， 的几何意义是离心角，如图角 AON 是离心角）注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆,点的轨迹是椭圆，中心在（x o ，y o ）椭圆的参数方程:X 。
a cos ybsi nxEg :求椭圆36 y=1上的点到 M (2,0)20的最小值。
3、双曲线的参数方程:中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线:a sec bta n为参数，代表离心角） ，中心在（x o ，y o ），焦点在x 轴上的双曲线:x x 0 asec y y 0 bta n22实用标准文案过定点P o （X 0, y o ）,倾角为 的直线，P 是直线上任意一点，设 P o P=t , P o P 叫点P 到.1x x 0t cos定点P O 的有向距离，在P O 两侧t 的符号相反，直线的参数方程y y°tsin（ t为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P o , 正负在P o 点两侧②丨 P o P | = | t 1「xX o at直线参数方程的变式：-，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当t 前面系Ly y o bt数的平方和是i 时，几何意义才是有向距离，所以，将上式进行整理，得离。
Eg :求直线 x=-1+3ty=2-4t ，求其倾斜角极坐标知识回顾:、定义：在平面内取一个定点0，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内的任意一点 M ，用p 表示线段0M的长度表示从Ox 到0M 的角，p 叫做点M 的极径叫做点 M 的极角，有序数对（p ,0）就叫做点M 的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
y y oa .a 2b 2(a 2 C 、a 2 b 2t)b 2t)，让a 2b 2t 作为t ，则此时t 的几何意义是有向距2)3x文档2)3练习：在同一直角坐标系中，画出以下四个点3A （1， ）B （2，） C （3，-—）4 24思考：上述点关于极轴以及极点的对称点说明：（1 ）极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位 ，即极径；④角度单位及它的方向，即极角.（2） 在极坐标系下，一对有序实数、 对应唯一点P （,），但平面内任一个点P 的极坐标不唯一，因为具有周期•（3） 如无特殊要求，则极径取正值 •x 2tan极坐标（，）直角坐标（x , y ）练习1 ：将下列直角坐标化为极坐标A (1 , -1 )B (1 , n)练习2 :将下列极坐标化为直角坐标直角坐标与极坐标的互化:直角坐标（x , y ） 极坐标（，）L x= y=cos sin练习3 :分别求下列条件中AB中点的极坐标2；（2）（4，）（6，）3 3a⑸sin图5asinsin、直线的极坐标方程0 + nacosacosMacoscos sin三、圆的极坐标方程图4图52asin2asin四、圆锥曲线统一方程（椭圆、抛物线、双曲线）⑴M2 a cos2a cos图32acosMO----- e, -------------------- eMN p cos其中，当0<e<1为椭圆，e=1为抛物线，当考点一：直线参数方程中参数的意义.1 •已知直线I经过点P(1,1),倾斜角(1 )写出直线I的参数方程。
(2 )设I与圆X 4相交与两点A, B ,求点P到A,B两点的距离之积。
解：(1)直线的参数方程为tcos —6tsin621t2x (2)把直线2代入丄t22ep1 ecose>1为双曲线设OA =P仏2，则点P到代B两点的距离之积为2J10 2 22 .过点P（ ,0）作倾斜角为的直线与曲线x2 12y2 1交于点M ,N，求PM PN的值及相应的的值。
解：设直10 +tcos（t为参数），代入2tsin曲线并整理得(1 sin2)t2( .10cos )t则PM 小值为一，此时3 .直线【解析】：PN1 sin22tt （t为参数）被圆x22tx29得(1 2t)2(2t1 t2 -(t1 2t2)4t1t2所以当sin21时，即—,PM PN的最2,5tt)29截得的弦长为25，把直线％1 y59,5t2 8t 4 0(8)21652t代入tA Q—，弦长为5 t1512 .55x4 .直线解:-（t为参数）和圆x2泌t216交于A, B两点，则AB的中点坐标(1!t)23,3 16，得t2 8t 8 0, t1 t2 8,t1x中点为3、32考点二：用极坐标方程、参数方程研究有关的位置关系的判定 x tcos 1 .直线 与圆 y tsi n 4 2cos 相切，则 2 .在极坐标系中，已知圆 值。
2sin 2cos 与直线3 cos 4 sin a 0相切，求实数a 的考点三：用极坐标方程、参数方程研究有关的交点问题 1 .在极坐标系 中，曲线 2 sin 与 cos 1的交点的极坐标2.已知两曲线参数方程分别为' 5cos(0< v坐标为 sin4 (t t R),它们的交点极考点四：用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题 x1 .求直线l 1:y -(t 为参数)和直线l 2: x3t0的交点P 的坐标，及点P与Q(1, 5)的距离。
2 .已知直线11 : :』为参数)与直线S:2x4y 5相交于点B ,又点A(1,2),则AB x3 .直线 1 _t 21 t (t 为参数)被圆x2 y 2 4截得的弦长为二、距离最大最小问题1上找一点，使这一点到直线 x 2y 12 0的距离的最小值。
圆C 的方程为2-5sin 。
（I ）求圆C 的直角坐标方程；（H ）设圆C 与直线I 交于点A 、B ,若点P 的坐标为（3, '、5）,求 |PA|+|PB| 。
【解析】(I)由 ^5 sin 得 x 2 y 2 2- 5y 0,即 x 2 (y 、、5)2 5.（n ）将l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得（3?t ）2 （ ?t ）2 5 , 2 2即t 2 3、、2t 4 0,由于（3&）2 4 4 2 0，故可设『2是上述方程的两实根,2 24 •在椭圆—— 16 12解：设椭圆的参数方程为x 4cosy 2 \ 3 sin4cos 4、； 3 s in 12"cos 5,3sin 34、5 当 cos(1时，dmin才2cos(3) 3心，此时所求点为（2, 3）。
52x5 •点P 在椭圆一162y_91上，求点P 到直线3x 4y 24的最大距离和最小距离。
解：设 P(4cos ,3sin )，则 d12边任和24即d当 cos( —) 1 时d min等(2⑵。
d max 12(2 2)；当 cos( -) 1 时，考点五：极坐标方程与参数方程混合1 .在直角坐标系xoy 中，直线I 的参数方程为3丁（t 为参数）。
在极坐标系（与 .5刍2直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中,所以t l t 23'2,又直线I 过点P(3八5),故由上式及t 的几何意义得也4|PA|+|PB|=|t i |+|t 2|= t i +t 2= 3 2 。
射线3与C 2的交点B的极径为28叫。
所以 |AB| |21| 2-一3.x = 1 + tcos a,3.已知直线C1 :y = tsin a,x = cos 0（t 为参数），圆C2 :y = sin 0,n(1)当％=一时，求C 1与C 2的交点坐标;3⑵过坐标原点O 作C1的垂线，垂足为 A , P 为OA 的中点.当a 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.2 .在直角坐标系xoy 中，曲线C i 的参数方程为x 2cos y 2 2sin(为参数)，M 为C i 上的uuu 动点，P 点满足OP uuuu2OM ，点P 的轨迹为曲线C 2. (I )求C 2的方程;(II )在以0为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为 B ，求|AB| .解：(I )设P(x , y)，则由条件知X YM( ,).由于M 点在C 1上，所以2 2x 小2 cos , 2 -2 2sin 2x 4cos 即 y 4 4si n从而C 2的参数方程为x 4cos （为参数）y 4 4sin(n)曲线C 1的极坐标方程为4sin ，曲线C 2的极坐标方程为8sin 。
射线3与C 1的交点A的极径为14sin3，寸时，C1的普通方程为y = -,；3（x — 1） , C2的普通方程为x 2 + y 2= 1.⑵ C 1 的普通方程为 xsin a —ycos a —s in a=0.A 点坐标为（sin 2 a,— cos a si n a ）,故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为1x = _sin 2 a ,21y = — — sin a cos a ,1 1 1 1 P点轨迹的普通方程为（x - 4）2+y2=石.故P 点轨迹是圆心为（4，0），半径为4的圆.解：⑴当a1解得C1与C2的交点为（1,0）,（-,（a 为参数）.x2 + y2 = 1 ,。