n
1 x
lim (1 x2 )(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n )
n
1 x
(1 x 2n )(1 x 2n )
1 x 2n1
lim
lim
n
1 x
n 1 x
1 . (当 x 1时, lim x2n1 0.)
1 x

1 x3

lim
x0
sin x
x

1

cos x2
x
1
(1 sin x)cos
x

1 2
1
原式 e2 . 13
例
设p( x)是多项式,且 lim x
p( x) x2
x3

2,
lim p( x) 1,求p( x). x x0
解
lim x
p( x) x2
x3
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
5
1、极限的定义：" N"定义
" X"定义
单侧极限 极限存在的条件
" "定义
2、无穷小与无穷大
无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系
无穷小的运算性质
3、极限的性质
四则运算、复合函数的极限 6
4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限;
第一章 函数与极限习题课
1
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
2
（一）函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
函数 的性质
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反函数与直接 反双曲函数 函数之间关系
奇偶性 单调性 有界性 周期性
3
1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数 6.复合函数 7.初等函数 8.双曲函数与反双曲函数
证明必有一点 [0,1]使得f ( 1) f ( ).
2
证明 令 F ( x) f ( x 1) f ( x),
2
则 F ( x)在[0, 1]上连续. 2
F (0) f (1) f (0), 2
F (1) f (1) f (1),
2
2
讨论: 若F (0) 0, 则 0, f (0 1) f (0);
lim (1
x1
x)
2. lim x1
f (x)
lim
x1
f (x)
lim f ( x) lim cos x 0. 故f ( x)在x 1间断.
x1
x1
2
当x 1时,
x
lim f ( x) lim cos 0.
x1
x1
4
（二）极限
数列极限
lim
n
xn

a
函数极限
lim f ( x) A lim f ( x) A
x x0
x
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
无穷小
左右极限 无穷小的比较 lim f (x) 0
判定极限
两个重要 等价无穷小
存在的准则 极限
及其性质
无穷小 的性质
4、闭区间上连续函数的性质
最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理
10
二、例题
11
例 当 x 1时,
求 lim(1 x)(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n ). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原式 lim (1 x)(1 x)(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n )
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
1
lim (1 ) e.
某过程
7、无穷小的比较
8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性
8
（三）连续
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
2
若F (1) 0, 则 1 , f (1 1) f (1);

2,
可设p( x) x3 2x2 ax b(其中a, b为待定系数)
又lim p( x) 1, x x0
p( x) x3 2x2 ax b ~ x ( x 0)
从而得 b 0, a 1. 故 p( x) x3 2x2 x
14
x 1, x 1
n
12
例
求
lim(1

tan
x
)
1 x3
.
x0 1 sin x
解
原式

lim[1

(1

tan
x

1)]
1 x3
x0
1 sin x

lim[1

tan
x

sin
x
1
]x3
x0
1 sin x
lim tan x sin x0 1 sin x
x

1 x3

sin x(1 cos x) lim x0 (1 sin x)cos x
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 第二类 可跳 无振 去跃 穷荡 间间 间间 断断 断断 点点 点点
连续函数
的性质
9
1、连续的定义
单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性
2、间断点的定义
间断点的分类 第一类、第二类
3、初等函数的连续性
连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性
例6
讨论f
(x)


cos
x
2
,
x

的连续性. 1
解 将f ( x)改写成
1 x, x 1
f
(x)

cos
x 2
,
1
x

1
x 1, x 1
显然f ( x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.
15
当x 1时,
lim
x1
f (x)
2
lim f ( x) lim f ( x)
x1
x1
lim f ( x) lim( x 1) 0. 故f ( x)在x 1连续.
x1
x1
f ( x)在(,1) (1,)连续.
16
例 设f ( x)在闭区间[0,1]上连续,且f (0) f (1),
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限；
f.利用等价无穷小；
g.利用重要极限 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
7Байду номын сангаас
6、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
sin
lim
1;
某过程
(2) lim(1 1 )x e