习题课（二） 导数及其应用
1.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函
数f (x )的图象可能是( )
解析：选D 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.
2．已知函数f (x )＝13x 3－12
x 2＋cx ＋d 有极值，则c 的取值范围为( ) A.⎝
⎛⎭⎫－∞，14 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，14 C.⎣⎡⎭⎫14，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫14，＋∞
解析：选A 由题意得f ′(x )＝x 2－x ＋c ，若函数f (x )有极值，则Δ＝1－4c ＞0，解得c ＜14
. 3．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( )
A ．(2,3)
B ．(3，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－∞，3)
解析：选B 因为函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，又f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－15.令f ′(x )＞0，解得x ＞3或x ＜2，所以函数的一个递增区间是(3，＋∞)．
4．已知f (x )＝3x 2＋ln x ，则lim Δx →0
f (1＋2Δx )－f (1－Δx )Δx ＝( ) A ．7
B ．73
C ．21
D ．－21
解析：选C ∵f ′(x )＝6x ＋1x ，
∴lim Δx →0 f (1＋2Δx )－f (1－Δx )Δx ＝3lim 3 Δx →0 f (1＋2Δx )－f (1－Δx )3Δx
＝3f ′(1)＝21，选C.
5．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( )
A ．e
B ．1
C ．－1
D ．－e
解析：选C 函数y ＝ln x －x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝1x －1＝1－x x
，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，y ′>0，函数单调递增；当x ∈(1，e)时，y ′<0，函数单调递减．当x ＝1时，函数取得最大值－1，故选C.
6．已知函数f (x )＝－13
x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )
A ．[6，＋∞)
B ．(－∞，2]
C ．[2,6]
D ．[5,6]
解析：选C f ′(x )＝－x 2＋4x ＋2＝－(x －2)2＋6，因为x 0∈[0,3]，所以f ′(x 0)∈[2,6]，又因为切线与直线x ＋my －10＝0垂直，所以切线的斜率为m ，所以m 的取值范围是[2,6]．
7．(2019·天津高考)曲线y ＝cos x －x 2
在点(0,1)处的切线方程为________． 解析：y ′＝－sin x －12
，将x ＝0代入， 可得切线斜率为－12
. 所以切线方程为y －1＝－12x ，即y ＝－12
x ＋1. 答案：y ＝－12
x ＋1 8．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为________．
解析：设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，∴V ＝13πr 2h ＝π3
h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R . 当0<h <4R 3时，V ′>0；当4R 3
<h <2R 时，V ′<0. 因此当h ＝43
R 时，圆锥体积最大． 答案：43
R 9．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1＜2＜x 2，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意得f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2的两个零点x 1，x 2满足x 1＜2＜x 2，所以f ′(2)＝12－8a ＋a 2＜0，解得2＜a ＜6.
答案：(2,6)
10．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2＋4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x －3.
(1)求a ，b 的值；
(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极小值．
解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x ＋4.
∵曲线在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x －3.
∴f (0)＝－3，f ′(0)＝2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－3，a ＋b ＋4＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－3.
(2)由(1)，知f (x )＝e x (x －3)－x 2＋4x ，
f ′(x )＝e x (x －2)－2x ＋4＝(x －2)(e x －2)．
令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2或x ＝2.
∴当x ∈(－∞，ln 2)∪(2，＋∞)时，f ′(x )>0；
当x ∈(ln 2,2)时，f ′(x )<0，
故f (x )在(－∞，ln 2)，(2，＋∞)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减．
∴当x ＝2时，函数f (x )取得极小值，
且极小值为f (2)＝4－e 2.
11．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单
位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x
.若每吨商品售价为ln x x 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式；
(2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？
解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝ ⎩⎨⎧ 1 000ln x －⎝⎛⎭⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x ，x ∈(80，100].
(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－(x －50)(x ＋20)x
，
由L ′(x )≥0，得20≤x ≤50；由L ′(x )≤0，得50≤x ≤80，
∴L (x )在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减，
∴当x ＝50时，L (x )ma x ＝1 000ln 50－250；
当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x
单调递增， ∴L (x )ma x ＝1 000ln 100 －2 000.
∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0，
∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元．
12．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的导函数为h (x )，f (x )的图象在点(－2，f (－2))处的切线
方程为3x －y ＋4＝0，且h ′⎝⎛⎭
⎫－23＝0，又直线y ＝x 是函数g (x )＝kx e x 的图象的一条切线． (1)求函数f (x )的解析式及k 的值；
(2)若f (x )≤g (x )－m ＋1对于任意x ∈[0，＋∞)恒成立，求m 的取值范围．
解：(1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，
可知h (x )＝f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .
由f (x )在(－2，f (－2))处的切线方程为3x －y ＋4＝0
可知，f (－2)＝－8a ＋4b －2c ＝－2，①
f ′(－2)＝12a －4b ＋c ＝3，②
又由h ′(x )＝6ax ＋2b 可知，
h ′⎝⎛⎭
⎫－23＝－4a ＋2b ＝0，③ 由①②③，解得a ＝12
，b ＝1，c ＝1， 即f (x )的解析式为f (x )＝12
x 3＋x 2＋x . 由题意，g (x )＝kx e x 与y ＝x 相切可知函数在原点或(－ln k ，－ln k )处切线斜率为1. 因为g ′(x )＝k (e x ＋x e x )，
所以g ′(0)＝k ＝1或g ′(－ln k )＝1，得k ＝1.
综上可得k 的值为1.
(2)若f (x )≤g (x )－m ＋1对任意x ∈[0，＋∞)恒成立，即12
x 3＋x 2＋x ≤x e x －m ＋1恒成立，
则m －1≤x e x －12
x 3－x 2－x 恒成立． 设t (x )＝x e x －12
x 3－x 2－x ＝x ⎝⎛⎭
⎫e x －12x 2－x －1， 令p (x )＝e x －12
x 2－x －1，p ′(x )＝e x －x －1， 再令φ(x )＝e x －x －1，φ′(x )＝e x －1＝0，解得x ＝0. 所以当x ∈[0，＋∞)时，φ′(x )≥0，
所以φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，
所以φ(x )≥φ(0)＝0，即p ′(x )≥0，
所以p (x )在[0，＋∞)上单调递增，
所以p (x )≥p (0)＝0，
所以当x ∈[0，＋∞)时，t (x )≥0恒成立，且t (0)＝0， 因此只需m －1≤0即可，则m ≤1.
所以m 的取值范围为(－∞，1]．。