坐标系单元教学设计甘肃省庆阳第四中学燕春录一、数学分析为了说明点的位置，运动的快慢、方向等，必须选取坐标系，在参照系中，为了确定点的位置，按照规定的方法选取的一组有序数对就叫做坐标。

在这一问题中规定坐标的方法，就是该问题所用的坐标系。

解析几何是数学的一个分支，其基本思想就是在平面上引进“坐标”的概念，建立平面上的点与坐标之间的对应关系，运用代数工具研究几何问题，它是数学的两个基本对象——数和形的统一。

通过数形结合，使坐标法成为一个双面的工具，一方面，几何概念可以用代数表示，几何目标可以通过代数方法达到；另一方面，代数语言以几何解释，使代数语言更直观，更形象的表达出来。

坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题，这种方法具有“一般性”，它沟通了数学内部的数与形，代数与几何两大学科之间的联系，从此代数与几何相互汲取新鲜的活力，得到迅速的发展，并且为代数的证明提供了有力的证据，随着学习的不断深入，坐标法的应用更加广泛。

坐标系是坐标法得以实现的平台，是解析几何的基础，学生学习平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等不同的坐标系，可以丰富对坐标系的认识，体会不同坐标系在刻画几何图形或描述自然现象时的特点，从而学会如何选择适当的坐标系建立的方程更加简单，研究起来更加方便。

二、课标分析1、回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。

2、通过具体的例子，了解在平面直角坐标系中伸缩变换下平面图形的变化情况。

3、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

4、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的圆、圆心在极点的圆、过极点的直线）的方程。

通过比较这些图形在极坐标系中和直角坐标系中的方程，体会用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

5、借助具体实例，了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系进行比较，体会它们的区别。

三、学情分析（一）学生从初中开始学习坐标系，对平面直角坐标系有了较深刻的认识和理解，教学中就要把重点放在让学生理解不论在平面还是空间中点的位置都可以用有序数对来表示，在不同的坐标系中，这些数体现的意义不同，同一几何图形在不同的坐标系中的方程也不同，因此选择适当的坐标系可以使图形的方程更简单。

在坐标系的教学中，说明坐标系建立的原则，要引导学生自己建立坐标系，激发学生的学习热情、探究性和创新思维的能力。

并让学生分析这样建立坐标系的方便之处。

（二）学生在学习极坐标之前，已在必修4中学习了三角函数的定义，通过具体的实例让学生体会在极坐标系中极坐标的不惟一性，为了保证除极点之外点与坐标的一一对应关系，强调如无特别要求，则ρ>0,0≤θ<2л。

极坐标方程和直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程。

（三）求曲线的的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（过极点的直线）、圆（过极点的圆、圆心在极点的圆）。

四、教材比较分析学习坐标系，使几何问题真正进入代数化的研究，使几何图形的性质变为数量之间的某种对应关系，具体的说，用几何法研究两直线是否平行，通常用的是两直线平行的判断定理：内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行。

而在引入坐标系后直线和方程对应，根据直线的斜率和截距就可以判断两直线是否平行;再例如直线和圆的相切在几何依据切线的判定定理，引入坐标系后，就用直线方程与圆的方程联立判断方程组根的个数来判断。

坐标系不仅能使点与有序数对建立对应关系，还可以将曲线和方程建立对应关系，这种关系进一步将几何与数量之间建立成对应的、必然的因果关系。

五、重点、难点分析重点：1、应用我们的生活常识，体会体会极坐标思想，并用此思想建立极坐标系；2、能用极坐标系刻画点的坐标；3、极坐标与直角坐标的互化。

难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一性）的理解；六、教学方式分析用坐标法解决典型的平面几何问题，引导学生理解坐标法的基本思想，体会坐标法的力量。

我们知道，坐标法、数形结合思想等都是数学中关于“怎么想”“怎么做”的知识，更多地要靠实践过程中的领悟和理解。

在进一步明确坐标法和数形结合思想的基础上，加强用坐标法解决综合性问题的训练，使学生在实践中深刻理解，学会用坐标法思考和解决问题。

利用“观察”“思考”“探究”栏目提出问题，引导学生主动学习。

这些问题是学生在学习具体内容时普遍都会遇到的，教科书通过它们来引导学生的思考方向，为学生独立思考、自主探究构建平台。

加强确定各类图形的几何要素的分析，在此基础上建立适当的坐标系。

实际上这是“几何眼光观察在先”的体现，是以往教材不够重视的地方。

加大用坐标法思想分析问题的力度。

从简洁性考虑，以往教材往往直接呈现逻辑过程，这是一种思考的“结果”，而对“为什么这样思考”则需要学生自己去体会。

七、教学目标分析知识与技能：1、理解平面直角坐标系的伸缩变换；2、理解极坐标系的有关概念；3、掌握极坐标平面内点的极坐标表示；4、会在极坐标系内描出已知极坐标的点；5、会写出极坐标平面内点的极坐标；6、理解点的极坐标的不惟一性。

过程与方法：1、在教师的引导下，利用“思考”“探究”对直角坐标的特点、极坐标的特点、极坐标与直角坐标的关系进行讨论，使学生通过自己的独立思考， 积极探索而获取新知，培养学生独立思考和合作探究的能力。

2、用生活中的实例让学生感受数学源于生活用于生活。

采用“探究”的形式，激发学生学习的兴趣。

感情、态度、价值观：1、通过生活中的实例引入，使学生认识数学的价值。

2、感受数学来自于生活，又运用于生活。

八、知识结构图伸缩变换 坐标系 坐标法球坐标系 柱坐标系 极坐标系 平面直角坐标系 简单曲线的极坐标极坐标与直角坐标的互化九、课时分配平面直角坐标系2课时极坐标系2课时简单曲线的极坐标方程2课时柱坐标系与球坐标系简介2课时小结与复习1课时极坐标系第一课时教学设计一、教学目标1、知识与技能：①体会极坐标的意义；②会求点的极坐标，根据极坐标能描出点；③理解点的极坐标的不惟一性；（极角的不惟一性）④能够建立适当的坐标系解决数学问题。

2、过程与方法：①自助探究、类比、数形结合的数学思想；②通过探究培养学生分析、比较、观察和归纳的能力。

3、情感、态度、价值观：通过与直角坐标系的比较，结合生活实例，让学生体会建立极坐标系的好处，让学生体会数学源于生活、用于生活。

激发学生的学习热情。

二、重点、难点1、重点：运用生活中的具体事例，体会极坐标思想，建立极坐标系。

2、难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一）的理解；三、教学过程（一）创设情景，导入新课：回顾前面学过的平面直角坐标系，列举生活中常见的事例，体会直角坐标系的不方便，引出极坐标系的思想。

引起学生的学习兴趣，并能自主的解决一些简单问题。

（设计意图：通过熟悉的生活事例和直角坐标系，引起学生学习的兴趣，调动学生学习的积极性，引导学生进行分析、类比。

）450600（二）、实例探究，直观目标：启发学生思考归纳解决上述问题的过程中需要注意的地方。

（起点、方向、距离）自主完成课本第九页的“思考”中位置的判断。

这是某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处，请回答下列问题:1、 他向东偏北600方向走120m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？2、如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ (设计意图：利用原有知识学生会很快给出答案，让学生从中体会“极坐标”的思想，让学生感受数学源于生活，用于生活。

为极坐标系的建立做好铺垫。

)（三）、理解概念，认识目标：1、极坐标系的建立从对上面问题的解答，让学生进行思考、探索如何建立一个和直角坐标系相似能确定点的位置的坐标系。

学生给出自己的设想，重视课堂知识的生成，对学生的方案进行调整。

引导学生最终得到我们规定的坐标系的建立。

极坐标系的定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。

（注意：极点、极轴、单位长度、角度单位和正方向）（设计意图：让学生感受知识的生成过程，体现自主建立的极坐标系的合理性、简洁性。

）2、极坐标系中点的坐标的规定建立坐标系是为了表示平面内点的位置，类比直角坐标系如何表示极坐标系中点的极坐标。

思考如何表示极坐标系中点的极坐标。

想一想：在极坐标中极角为什么要规定以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，而不是Ox 与OM 的夹角。

(设计意图:掌握点的极坐标表示，设置悬念，调动学生的学习积极性。

)如图1，设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离∣OM ∣叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角记为θ。

有序数对（ρ，θ）450600叫做点M 的极坐标，记为M （ρ，θ）。

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数。

（四）、例题分析，形成能力：例1、如图1，在极坐标系中，写出A,B,C 的极坐标，并标出D （2，л/6），E(4 ,3л/4), F(3.5, 5л/3)所在的位置。

对例1由学生讲解，对不正确的地方指出并加以改正。

例2、在图3中，A,B,C,D,E,分别表示教学楼，体育馆，图书楼，办公楼的位置. 建立适当的坐标系，写出各点的极坐标.(五)、拓展探究，提高能力：在平面直角坐标系中点与坐标是一一对应的，那么在极坐标系中是否也满足点与坐标是一一对应关系？(坐标对应惟一的点，点对应惟一的坐标。

)学生通过讨论，引导学生回忆角的相关知识，共同得到点的极坐标的统一表达式。

（ρ，θ），（ρ，θ+2л）…（ρ，θ+2K л）K ∈Z 为同一点。

如果规定ρ>0，0≤θ<2л,除极点外，点与坐标一一对应。

极点的坐标为(0 ，θ). 结合负数的引入，思考负极径问题，对负极径有初步的认识。

（设计意图:初步了解极坐标系中点与坐标的对应关系，并能够解决一些简单的问题。

）四、课堂练习，巩固知识：1、已知两点P （5，45π），Q )4,1(π，求线段PQ的长度； 图2 图32、若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ∆的面积。

（O 为极点）五、课堂小结①、极坐标系的定义；(建立极坐标系的要素)②、极坐标系中点的坐标的表示；③、极坐标系中点与坐标的对应关系。

六、板书设计 七、作业布置习题1.2: 1,2,3八、课后反思本节课知识点少，简单，因此练习的过程应该抛给学生自主解决。

一些衔接过渡方面做得还不够，主要是在语言上太过于罗嗦。

数学课堂通常比较枯燥、缺乏生动和激情，因此，努力创建既宽松、富有人情味又便于学生善于思考、乐于探究的教学环境显得尤为重要。