第 1 章模糊集合及其运算（教材第2章）
1.1模糊集合创立背景
1.不兼容原理：一个系统的复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减小，在
达到一定阀值时复杂性与精确性相排斥，即高复杂性与高精度不兼容。
精
确
性
0复杂性
图不兼容原理示意图
大系统
F 逻辑二值逻辑
[0 ， 1]{0 ， 1}
人脑电脑
图人脑、电脑与大系统
2.Zadeh 研究大系统遇到的问题
他经常徘徊于人脑思维－大系统－计算机三者之间，人脑对复杂大系统中许多模糊概念与模糊信息不是用是、非二值逻辑，而是用模糊逻辑。
线性的计算机是以二值逻辑 {0,1} 为基础，不能处理模糊信息，怎么办
为使大脑能像人脑那样处理模糊信息，必须将{0,1} 扩展到 [0, 1]闭区间，于是他在 1965 年发表了开创性论文“ Fuzzy sets ”。
举例解释模糊性与随机性两个概念的差异。
1.2经典集合及其运算
1.复习经典集合理论
定义：基于某种属性的、确定的、彼此可区别的事物全体。
论域：研究对象的全体称为论域（全域、全集、空间、话题）
元素与集合之间的关系：属于与不属于
集合之间关系：包含与相等
集合的基本运算：并、交、补运算
集合的三种基本形式如下：
定义式： A U B @{x | x A 或 x B } （只用符合字母）
描述式：（只用文字）由属于一个集合或另一个集合的元素构成的集合称
为这两个集合的并
文氏图：（只用图）
集合的直积（叉积，笛卡尔积）：
两个集合 A,B 的直积：A B {(x, y ) | x A 且 y B }
注意几点：
(1)序偶不能颠倒顺序（x, y）≠ (y, x),因此A×B≠ B× A；
(2)直积可推广到 n 个集合；
(3)当R为实数集，即R={x|- <x < + }，R× R={(x, y)|- <x<+ ,- <y<+ }
2
称 R× R=R为二维欧氏空间。
2.映射与关系
(1)映射 f ： x→y；
(2)关系：集合 X× Y 直积的一个子集 R 称为 X 到 Y 的二元关系，简称关系；
(3)映射是关系的特例，因为 f ：x→y 显然 {(x, y)|y=f(x)}X×Y。
Y y
（集合）
（因变量）
X→ x
映射 f ：X→ Y
y=f(x)
Y→ y
0x 自变量0
X（集合）
图函数关系是映射的特例
3.集合性质
幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、同一律、复原律、互补律、对
偶律
4. 集合的表示：除描述法，列举法，递推公式法之外，还有特征函数表示法
集合 A 的特征函数定义为
1 x A
A (x)
x A
A
（ x ）
1
x
A
图集合 A 的特征函数
特征函数的性质：
(1) A ( x) 1
A ( x)
(2) A UB
( x)
max{ A (x), B (x)} (3)
A I B
( x)
min{
A (x),
B (x)}
模糊集合的定义及运算
(1) 概念的内涵与外延
内涵：一个概念中包含那些区别其它概念的全体本质属性称概念的内涵，概 念的内涵就是集合的定义。
外延：符合某概念的对象的全体，称为概念的外沿，概念的外延就是指集合的所有元素。
(2) 模糊概念： 在人们思维中， 没有明确外沿的概念称模糊概念。
例如，高、低、大等。
(3) 模糊集定义： A
A
~
1
A （ ui ）
[0,1]
A （ u2） A （ u1）
u 1 u 2
u i
U
U
图模糊集合
A 的隶属函数 ~
给定论域 U 到[0 ，1] 闭区间的映射。
： U → [0,1]
u → A (u)
%
都确定一个模糊子集 A ；
A
称为 A 的隶属度函数；
A
(u) 称为 u 对 A 隶属度；
%
%
%
%
%
在不至于混淆的情况下，用 A(u) 表示 A (u) 。
%
%
(4) 模糊集合的表示
① U 为有限离散的情况
Zadeh 表示法：
A A(u 1 ) A(u 2 )
L L
A( u n ) %
%
%
%
u 1 u 2
u n
序偶表示法：
A {( u 1 , A(u 1 )),( u 2 , A(u 2 )), L L (u n , A(u n ))}
% % % %
向量法： A
( A(u 1 ), A(u 2 ),L L A(u n ))
%
% % %
注意：隶属度为 0 的元素应保留
综合法： A
A(u 1 ) A(u 2 )
A(u n ) ( %
, %
,L L , %
)
%
u 1
u 2
u n
② U 为连续的情况
A A (u)
%
%
U u
(5) 模糊集合的运算
① 包含、相等的概念同普通集合
② 并、交、补的运算
A B (u) @max[ A (u), B (u)]
[ A (u), B (u)]
% % % %
% % A B (u) @min[ A (u), B (u)]
[ A (u), B (u)]
% % %
%
%
%
A c (u) 1 A (u)
%
%
A ∪ B
~
~
1
A
B
~
~
u
A ∩ B
~ ~
图模糊集合的并、交示意图
③ 模糊集合的代数运算
代数积： A B
A g
B A B % %
% % % %
A B A B 代数和：A B
%
%
%
%
1
% %
A B
% %
1
1
(6) 模糊集合的运算性质
不满足互补律，其余 8 条同普通集合的运算性质相同。
1.4 模糊集合与经典集合的联系
(1) 截集： A @{u | A (u)
},0
1 称 A
为 的 截集 A
%
%
%
%
强截集： A
{ u | A (u)
},0
1
(2) %
%
分解定理
U A ，其中
x A
A
A ( x)
A
%
0,1
0x A
(x)
1
A ~
λ
u
A
(x)
图分解定理示意图
分解定理提供了用经典集合构造模糊集合的可能性， 它是联系模糊数学与经典数学的纽带。
(3) 扩张原则： f ：x →y 可扩展为
% % %称 的扩展 f : A
f ( A)
f f
规定在扩张中保持它的隶属度函数值不变， 扩张原则目的是把普通数学方法扩展到模糊集合运算中。
隶属函数
(1) 确定隶属函数：主观性与客观性的统一 (2) 隶属函数确定方法
模糊统计法：介绍张南伦老师对“年轻”“中年”隶属函数的模糊统计
方法
例证法： Zadeh提出，利用语言值对样本的询问
专家经验法
(3)凸模糊集概念：具有单峰的模糊集合称为凸模糊集。
(4)模糊分布：常见四种形式 ( 正态分布，型分布，戒上型分布，戒下型分
布)。