把下列各式因式分解 2 m2m 1a x abxa(a b)3 2a 2(bmm3acx ax a)2 2ab(b a)(1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第2.利用提公因式法简化计算过程 例•计算987987例：计算123268 -1368 1368分析：算式中每一项都含有 竺 13689875211368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

456987 1368解:说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要 注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

举一反三：1、分解因式：(1) 4m 2n 312m 3n 22mn3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组 2x y 3, 5x 3y 2求代数式(2xy)(2x 3y) 3x(2x y)的值。

(2) a 2x n 2 abx n 1 acx n adx n 1(n 为正整数)初三数学因式分解培优专题(一)一、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配 律。

多项式的公因式的确定方法是：(1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。

(2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】 1.(1)(2) 分析： 分析：不要求解方程组，我们可以把 2x y 和5x 3y 看成整体，它们的值分别是 3 和2，观察代数式，发现每一项都含有2x y ，利用提公因式法把代数式恒等变形， 化为含有2x y 和5x 3y 的式子，即可求出结果。

解：4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n , 3n 22n 23n 2n 一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10的倍数即可。

解：一项系数是正数，在提出“―”号后，多项式的各项都要变号。

解：(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，(a b)2n (b a)2n ； (a b)2n 1 (b a)2n 1，是在因式分解过程中 常用的因式变换。

解：5、中考点拨：例1。

因式分解3x(x 2)(2 x)解：说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得 到。

例 2 .分解因式：4q(1 p)32( p 1)2解：(3) a(a b)3 2a2 (b a)2 2ab(b a)22.计算：(2)11 ( 2)10的结果是()A. 2100B. 210C. 2D. 13. 已知X、y都是正整数，且X(X y) y(y X)仁，求X、。

4. 证明：817279913能被45整除。

、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式 2 2a b (a b)(a b)完全平方公式 2 a 2ab b2 (a b)2立方和、立方差公式 3 a b3但b)但2ab b2)补充：欧拉公式：a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ca)2(a b c)[( a b )2(b c)2(c a)2]特别地：（1 ）当a b c o 时，有a3b3c33abc（2）当c o时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a22a b2 2b分解因式的结果是（）A. (a b)(a 2)(b 2) B (a b)(a b 2)C. (a 2 2b)(a b) 2 D. (a 2b)(b 2a)分析 2 a 2a b2 2b a2 2a 1 b2 2b 1 (a 1)2(b 1)2。

再利用平方差公式进行分解，最后得到（a b）（a b2），故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式2X3X2 m有一个因式是2X1，求m的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。

解：3. 在几何题中的应用。

例：已知a、b、c是ABC的三条边，且满足a2 b2 c2 ab bc ac 0，试判断ABC的形状。

分析：因为题中有a2、b2、ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab。

所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0,从而得解。

解：4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。

解：5、中考点拨：例1:因式分解：x3 4xy2 __________________________________ 。

说明：因式分解时，先看有没有公因式。

此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。

例2 :分解因式：2x3y 8x2y2 8xy3 _________________________ 。

说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。

题型展示：例1. 已知： 1a m1, 1b m 2, c» 3，求a22ab b22ac c22bc的值。

3.若a, b, c是三角形的三条边，求证：a2b2c22bc 0说明：利用补充公式确定a，b，c的值，命题得证。

例3.若x3 y327，x2 xy y2 9，求x2 y2的值。

解：因式分解练习题说明：按常规需求出x，y的值，此路行不通。

用因式分解变形已知条件，简化计算过程。

举一反三：1.分解因式：(1)(a 2)2(3a 1)25 2 (2)x (x 2y) x (2y x)(3) a2 (x y)22a(x y)3 (x y)42.已知：1xx 3，求x41—的值。

x1、若 2 x 2(m 3)x 16是完全平方式，则m= 。

2、x2( )x 2 (x 2)(x )3、已知1 2x x x2004 x2005o,则x20064、右16(a b)2 'M 25是完全平方式M= 。

2 x 6 x _ (x 3)2 x29 (x 3)2,5、若9x2k 2y。

6、若x24x 4的值为0,则3x212x 5的值是。

7、若 2 x ax 15 (x 1)(x 15)则a：= 。

8、若x y 4, x2 y2 6 则xy 。

9、方程x24x 0,的解是。

二、选择题:( 10分)1、多项式a(a x)(x b) ab(a x)(b x)的公因式是( )解:说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值, 数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。

例2.已知a b c 0，a3 b3 c30,求证：a5b5c50证明：而是把代4•已知：2io，求2001的值。

5.已知a, b，c是不全相等的实数，且(1) a b c 的值；(2) 1 1 1 1 1(2)a( ) b( ) c(— b c c a aabc 0，a3 b3 c3 3abc，试求丄)的值。

b(3) 2 5628 56 222 442A 、一 a 、B 、 a(a x)(x b)C 、a(a x)D 、 a(x a)2、若mx 2kx 9(2x 3)2，贝U m k 的值分别是( )A m=— 2, k=6,B 、m=2, k=12,C 、m=— 4, k=—12、D m=4, k=12、 六、试说明：对于任意自然数n , (n 7)2(n 5)2都能被动24整除。

3、下列名式x 2 因式的有(A 1 个，B y 2, x 2 y 2, x 2 y 2,( x)2 ( y)2,x 4 ) 2个，C 、3个 ，D 4个 4y 中能用平方差公式分解4、计算 1 2 分解因式： 4 3x 2x 1 1 (122)(1 33) A (30 分) 35x 2 A )的值是( 1 r 11 ,D .-10 203、25x 2y)24(2y x)2 45、x 5 x6(1 3x 6 3x 222x 4xy 1 4y、x 32 24 27、3ax+6axy+3ay 8、x 18x 81 942、9x 36 y2、若x 、y 互为相反数，且 (x 2)2 (y 1)24，求x 、y 的值3、已知a b 2，求(a 2 b 2)2 8(a 2 b 2 )的值四、代数式求值(15分) 1、已知 2x y 1， xy 2，求 2x 4y 3 x 3y 4的值。

3 五、 计算: (15) (1)3 3.66 - 2.664 200120001。