时变滤波和空变滤波
时变滤波:随时间变化设计不同的滤波因子的滤波 分段时变滤波 (2)相邻两段之间进行线性加权插值 为了不使滤波因子在分段处产生突变，可采用线性加权插值的办法 (图1-35)，在t1～t’1段用ht(1)滤波因子进行滤波，在 段用 — t3 t2 ht(2)进行滤波，而在 过渡段中的任一点t2则采用以下公式计 t1 — t 算的因子ht(12)进行滤波。2
N 1 2
关于褶积滤波结果长度的讨论
设输入x(t)为M个点，滤波因子h(t)为N个点，则滤波结果为 N+M-1个点，只需原来长度，所以各舍去结果两端(N-1)/2个点 （因为h(t)为偶函数，N取奇数），即零相位子波。若为最小相 位的，则取前M个。若为最大相位的，则取后M个。 信号分析课程中，付氏变换只取前M个点，只对输入信号为 最小相位的是成立的。

i
x y
i

i
自相关： 连续形式: 互相关：
rxx ( )
i
x x


i i
rxy ( ) y(t ) x(t )dt

自相关：
rxx ( ) x(t ) x(t )dt


相关函数的性质
自相关函数的性质 (1) rxx ( ),在x=0处有最大值，即 rxx ( ) ≤ rxx (0) rxx (2) rxx ( )是 的偶函数， ( )= rxx ( ) ,自相关得到的是零相位的子波。 (3) 当 时，自相关函数 rxx ( ) 0，因为波形长度总是有限的，当 (4) 自相关函数 rxx ( )与x(t)本身波形无关，仅与x(t)所包含的频率成分有关， 即与其振幅谱有关。振幅谱相同，而相位谱不同的波形具有相同的自相关 函数。
单位脉冲序列的组合：x(n)=(1/2)δ(n+1)+δ(n)+ (1/2)δ(n-1)+(-1/3)δ(n-2)
褶积滤波的物理意义
3、 褶积的物理意义 任何一个信号都可以分解为起始时间、极性、幅度各不相同的脉冲序列，令 这些脉冲按时间顺序,依次通过滤波器，这样在滤波器的输出端就得到对输入 脉冲序列的脉冲响应，这些脉冲响应有不同的起始时间，不同的极性和不同 的幅度(这个幅度是与引起它的输入脉冲幅度成正比的)，把它们迭加起来就 得到滤波后的输出。 上述迭加过程如图1-29所示。输出是与输入地震信息x(t)和滤波器的时间特性 h(t)的褶积运算结果完全相同的。设对x(t)离散抽样得x(1), x(2)，x(3)，……， x(N)，对h(t)离散抽样得h(1)，h(2)，h(3)，h(4)，h(5)(即滤波因子的抽样点 数为s=5)，并且两者的抽样间隔是相等的，这时上述迭加的物理过程可表示 于表1-5，每个脉冲响应可用5个离散值表示，输出x(n)的值就是在相应的时 刻各个脉冲相应的离散值之和，得到
sin 2f 1t sin 2 t t t
这种做法克服了频率特性曲线的波动问题，但是，这时频率特性曲线的陡度 也减小了，这对地震勘探资料滤波处理来说使滤波器的频率选择性变差。从 另一方面来看，地震波是脉冲波，是由无数多个不同频率成分的简谐波所组 成，为了保留地震波的频谱成分，往往不宜用门式滤波，而适合用镶边后的 滤波器。
褶积滤波的物理意义
表1-5脉冲叠加的物理过程
理想低通滤波器时间特性的计算
设理想低通滤波器的频率特性：
1, H ( ) 0,
it
时间特性
1 h(t ) 2
1 it H ( )e d 2 1e d 1 1 costd i 2 sin td 2
图1-30 低通滤波器的时间特性
理想低通滤波器时间特性的计算
设理想带通滤波器的频率特性：
0, 其他 H ( ) 1, 0 , 0
图1-31 理想滤波器的频率特性 (a)、(b)低通滤波器，(c)带通滤波器
理想低通滤波器时间特性的计算
克服吉普斯效应
吉普斯效应（Gibbs）
吉普斯效应（Gibbs）
克服普斯效应
（3）镶边法
A 直接镶边法
1, f f 1 H( f ) 0, 其它
则H(f)在|f|=Δf1处间断。这时可作另一函数H*(f)代替H(f)，也即在H(f)两边不连续处 镶上一条连续的边(图1-41)，H*(f)的公式为
图1—44 互相关函数包含它们共 有的频率成分
相关函数的性质
相关与褶积 褶积公式是 相关公式是
ˆ x(t ) h( ) x(t )d


rxy y(t ) x(t )dt


离散形式，对于褶积有
ˆ x(nt ) h(m ) x(nt m )
1, f f 1 H ( f ) [ f 1 f ] / 2 , f 1 f f 1 0, f f 1
与H(f)对应的滤波因子为
sin 2f 1t h(t ) t
吉普斯效应（Gibbs）
克服吉普斯效应 与 H ( f ) 对应的滤波因子为 h (t )
理想高通滤波器时间特性的计算
设理想高通滤波器的频率特性：
1, fc | f | H( f ) 0, | f | fc
理想高通滤波器时间特性的计算
褶积滤波的具体计算步骤
①对地震记录进行频谱分析，确定通频带中心频率f0和带宽2△f
②确定滤波因子长度N。理论上，滤波因子是无限长的。实际上， 要在计算机上计算，不可能取无限长，而是取某一长度N。③求 滤波因子，如采用带通滤波器，则将(1-3-6)式写成离散形式
一维数字滤波
——时间域滤波原理
ˆ x(t ) h( ) x(t )d


ˆ x(t ) x(t )
：输出记录 ：输入记录
褶积滤波的物理意义
1、单位脉冲响应
图1—29 单位脉冲通过滤波器所产生的单位脉冲响应
褶积滤波的物理意义
2、任意序列（离散信号）的单位脉冲表示形式 序列： {x(n)}=[x(-1),x(0),x(1),x(2)]=[1/2,1,1/2,-1/3]
吉普斯效应（Gibbs）
克服吉普斯效应 方波二次褶积镶边低通滤波器：
（3）镶边法
B 褶积镶边法 方波褶积镶边低通滤波器
吉普斯效应（Gibbs）
克服吉普斯效应 （4）时窗法
矩形窗的频谱：
吉普斯效应（Gibbs）
克服吉普斯效应 （4）时窗法
相 关 滤 波
相关分析是地震资料数字处理中的 一种基本的分析、运算方法，同时， 它本身也是一种线性滤波。
吉普斯效应（Gibbs）
吉普斯效应（Gibbs）
吉普斯现象的影响 由于H’(f)曲线在通频带内是波动的，即是说通频带以内| H’(f) |值 不是常数，地震信号滤波后，有效波有的频率成分增强了，而有 的相对削弱了，这就使有效波原来的各频率成分的振幅比发生了 变化，使波形产生畸变。 H’(f)曲线”门边“发生倾斜，即陡度减小，使滤波后的选择性变 差，也影响滤波效果
伪门及其对数字频率滤波的影响
伪门 ：对连续的滤波因子h(t)离散抽样后，得到h(mΔt)。如果，再按h(mΔt)计 算出与它相应的滤波器的频率特性，这时在频率特性的图形上，除了有同原来 的H(ω)对应的‘门”外，还会周期性地重复出现很多 “门”。
图1-37 伪门
1 “伪门”出现的周期为 t
伪门及其对数字频率滤波的影响
时变滤波和空变滤波
时变滤波:随时间变化设计不同的滤波因子的滤波 分段时变滤波 (1)分段设计滤波因子 根据地震记录道频谱分析，把地震记录道分成若干段，如四段、五段 或六段等(图1-34)按照每一段的地震波频谱设计相应的滤波因子ht(1), ht(2), ht(3), ht(4), 等。
图1—34 将地震记录按时分段
理想低通滤波器 I 的时间特性为
0 sin( 0 )t h1 (t ) ( 0 )t
理想低通滤波器Ⅱ的时间特性为 h2 (t )
0 sin( 0 )t ( 0 )t
理想带通滤波器的时间特性
h(t )
2 sin 2ft cos 2f 0 t t
常用的数学变换
二 维 滤 波
波数滤波的概念
在地震勘探中，有时有效波和干扰波的频谱成分相近，无法用频 率滤波来压制干扰，但是既然是不同类型波，一定在其他方面存在差异， 例如视速度不同（图1-46），这时就可以利用视速度的不同来压制干扰 而不采用频率滤波的办法。例如“组合”就是根据视速度不同来压制干 扰波的。这种滤波不只是对一个地震记录道，而是对若干个空间的地震 记录道发生作用，因此是一种空间域的滤波。
2 h(nt ) sin 2fn t cos 2f 0 nt nt
④将公式
ˆ x(t ) x(t )h( )d


n= 0,
N 1 1 2 ， 2
写成离散形式
ˆ x(nt )
x(nt m )h(m )
m N 1 2

因为m是整数，故
e
2im
1
1 H ( f ) t h(mt )e i 2fmt H ( f ) t m
伪门出现的周期大，因此为了避免干扰波通过伪门，故要使选的尽可能小些。
t 不同时，伪门出现的周期是不同的，取的大，伪门出现的周期小，取的小，
吉普斯效应（Gibbs）
(图1-37)
h(mΔt)的谱为： H ( f ) t
m
h(mt )e

i 2fmt
(1-4-1)
2i ( f ) mt 1 t H ( f ) t h(mt )e t m 1