0 k =−∞ 0
∫
T
f (t )e
− jnΩt
dt =
∑
+∞
Fk [ ∫ e j ( k − n ) Ωt dt ]
T
∫
0
e
dt = ∫ cos(k − n)Ωtdt + j ∫ sin(k − n)Ωtdt
0 0
T j ( k − n ) Ωt
• 综合上述得到
T k = n dt = ∫0 e 0 k ≠ n • 这样 式的右边就化为 TFn 。因此有 这样(3)式的右边就化为
f (t )e
− jnΩt
=
∑
+∞
Fk e jk Ωt e − jnΩt
(2)
∫
T
0
f (t )e
− jnΩt
dt = ∫
T +∞
0
kБайду номын сангаас=−∞
∑
Fk e jk Ωt e − jnΩt dt
• 这里T 是 f (t )的基波周期，以上就是在该周期内积分。 的基波周期，以上就是在该周期内积分。
• 将上式右边的积分和求和次序交换后得 (3) • (3)式右边括号内的积分式很容易的，为此利用欧拉关系 式右边括号内的积分式很容易的， 式右边括号内的积分式很容易的 可得 T j ( k − n ) Ωt T T
1 Fn = T
∫
T
0
f (t )e − jnΩt dt
• 该式给出了确定系数的关系式。 该式给出了确定系数的关系式。
傅里叶级数公式的系数推导
2012-03-11 TJUT
• 假设一个给定的周期信号能表示成 +∞ • f (t ) = ∑ Fk e jk Ωt • (1) k =−∞ • 的级数形式，这就需要一种办法来确定这些系数。将(1) 的级数形式，这就需要一种办法来确定这些系数。 式两边各乘以− jnΩt ，可得 e • k =−∞ • 将上式两边从0 到 T = 2π Ω 对 t 积分，有 积分，