数值分析试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字.A．4和3 B．3和2C．3和4 D．4和42. 已知求积公式，则＝（）A． B．C．D．3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（）A．＝0，B．＝0，C．＝1，D．＝1，4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。
A．超线性B．平方C．线性D．三次5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）.A．B．C．D．单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设, 则， .2. 一阶均差3. 已知时，科茨系数，那么4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。
5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案1. 9和2.3. 4.5.得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值.计算题1.答案1. 解，，所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案3. 解，，，，，故取作初始值迭代公式为，，，，方程的根4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分.计算题4.答案4 解梯形公式应用梯形公式得辛卜生公式为应用辛卜生公式得得分评卷人四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即，将分别代入求积公式，并令其左右相等，得得，。
所求公式至少有两次代数精确度。
又由于故具有三次代数精确度。
一、填空（共20分，每题2分）1. 设，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商，则二阶差商3. 设, 则，。
4．求方程的近似根，用迭代公式，取初始值，那么5．解初始值问题近似解的梯形公式是6、，则A的谱半径＝。
7、设，则和。
8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。
10、为了使计算的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。
填空题答案1、2.31502、3、6 和4、1.55、6、7、8、收敛9、10、二、计算题（共75 分，每题15分）1．设（1）试求在上的三次Hermite插值多项式使满足以升幂形式给出。
（2）写出余项的表达式计算题1.答案1、（1）（2）2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？计算题2.答案2、由，可得，3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题3.答案3、，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的4．推导常微分方程的初值问题的数值解公式：（提示：利用Simpson求积公式。
）计算题4.答案4、数值积分方法构造该数值解公式：对方程在区间上积分，得，记步长为h,对积分用Simpson求积公式得所以得数值解公式：5．利用矩阵的LU分解法解方程组计算题5.答案5、解：三、证明题（5分）1．设，证明解的Newton迭代公式是线性收敛的。
证明题答案1、一、填空题（20分）(1).设是真值的近似值，则有位有效数字。
(2).对, 差商( )。
(3).设, 则。
(4).牛顿—柯特斯求积公式的系数和。
填空题答案（1）3 （2）1 （3）7 （4）1二、计算题1).（15分）用二次拉格朗日插值多项式的值。
插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。
计算题1.答案1）2).（15分）用二分法求方程区间内的一个根，误差限。
计算题2.答案2)3).（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组，取，迭代三次(要求按五位有效数字计算).。
计算题3.答案3）迭代公式4).（15分）求系数。
计算题4.答案4）5). (10分)对方程组试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为取,经7步迭代可得：.三、简答题1)（5分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法,为什么?2)（5分）先叙述Gauss求积公式, 再阐述为什么要引入它。
一、填空题（20分）1. 若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有( )位有效数字.2. 是以为插值节点的Lagrange插值基函数，则( ).3. 设f (x)可微，则求方程的牛顿迭代格式是( ).4. 迭代公式收敛的充要条件是。
5. 解线性方程组A x=b (其中A非奇异，b不为0) 的迭代格式中的B称为( ). 给定方程组，解此方程组的雅可比迭代格式为( )。
填空题答案1．32.3.4.5.迭代矩阵，得分评卷人二、判断题（共10分）1. 若，则在内一定有根。
( )2. 区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。
( )3. 若方阵A的谱半径，则解方程组A x=b的Jacobi迭代法收敛。
( )4. 若f (x)与g (x) 都是n次多项式，且在n+1个互异点上，则。
( )5. 用近似表示产生舍入误差。
( )判断题答案1.×2.×3.×4.√5.×得分评卷人三、计算题（70分）1.（10分）已知f(0)＝1，f(3)＝2.4，f(4)＝5.2，求过这三点的二次插值基函数l1(x)=( )，=( ), 插值多项式P2(x)=( ), 用三点式求得( ).计算题1.答案1．2. （15分）已知一元方程。
1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。
计算题2.答案2.（1）（2）（3）3. （15分）确定求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题3.答案4. （15分）设初值问题 .(1)写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；(2)写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数值解的公式，并求解，保留两位小数。
计算题4.答案4.5. （15分）取节点，求函数在区间上的二次插值多项式，并估计误差。
计算题5.答案5．=1+2(，一、填空题( 每题4分，共20分)1、数值计算中主要研究的误差有和。
2、设是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则；。
3、设是区间上的一组n次插值基函数。
则插值型求积公式的代数精度为；插值型求积公式中求积系数；且。
4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。
5、则。
填空题答案1.相对误差绝对误差2. 13. 至少是n b-a4. 35. 1 0二、计算题1、已知函数的相关数据由牛顿插值公式求三次插值多项式，并计算的近似值。
计算题1.答案解：差商表由牛顿插值公式：2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长，。
计算题2.答案解：3、（15分）确定求积公式。
中待定参数的值，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。
计算题3.答案解：分别将，代入求积公式，可得。
令时求积公式成立，而时公式不成立，从而精度为3。
4、（15分）已知一组试验数据如下：求它的拟合曲线（直线）。
计算题4.答案解：设则可得于是，即。
5、（15分）用二分法求方程在区间内的根时，若要求精确到小数点后二位，(1) 需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。
计算题5.答案解：6次；。
6、（15分）用列主元消去法解线性方程组计算题6.答案解：即。