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中考数学易错题专题训练-反比例函数练习题及答案解析

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线y= (k≠0)(x>0)相交于点A、C,与x轴相交于点B、D,连接AC.已知点A、B的刻度分别为5,2(单位:cm),直尺的宽度为2cm,OB=2cm.(1)求k的值;(2)求经过A、C两点的直线的解析式;(3)连接OA、OC,求△OAC的面积.【答案】(1)解:∵AB=5﹣2=3cm,OB=2cm,∴A的坐标是(2,3),代入y= 得3= ,解得:k=6(2)解:OD=2+2=4,在y= 中令x=4,解得y= .则C的坐标是(4,).设AC的解析式是y=mx+n,根据题意得:,解得:,则直线AC的解析式是y=﹣ x+(3)解:直角△AOB中,OB=2,AB=3,则S△AOB= OB•AB= ×2×3=3;直角△ODC中,OD=4,CD= ,则S△OCD= OD•CD= ×4× =3.在直角梯形ABDC中,BD=2,AB=3,CD= ,则S梯形ABDC= (AB+DC)•B D= (3+ )×2= .则S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD=3+ ﹣3=【解析】【分析】(1)首先求得A的坐标,然后利用待定系数法求得函数的解析式;(2)首先求得C的坐标,然后利用待定系数法求得直线的解析式;(3)根据S△OAC=S△AOB+S梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解.2.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b 时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由;(2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;(3)若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值.【答案】(1)解:是“相邻函数”,理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”(2)解:y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),∴顶点坐标为:(1,a﹣1),又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴0≤a≤1(3)解:y1﹣y2= ﹣(﹣2x+4)= +2x﹣4,构造函数y= +2x﹣4,∵y= +2x﹣4∴当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,即a﹣2≤y≤ ,∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即,∴1≤a≤2;∴a的最大值是2,a的最小值1【解析】【分析】(1)y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,所以当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,因为y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),所以顶点坐标为:(1,a﹣1),又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,所以当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即0≤a≤1;(3)当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值,因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,﹣1≤y1﹣y2≤1,即1≤a≤2,所以a的最大值是2,a 的最小值1.3.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),D(3,3).(1)点C的坐标________;(2)若反比例函数y= (k≠0)的图象经过直线AC上的点E,且点E的坐标为(2,m),求m的值及反比例函数的解析式;(3)若(2)中的反比例函数的图象与CD相交于点F,连接EF,在直线AB上找一点P,使得S△PEF= S△CEF,求点P的坐标.【答案】(1)(3,0)(2)解:∵AB=CD=3,OB=1,∴A的坐标为(1,3),又C(3,0),设直线AC的解析式为y=ax+b,则,解得:,∴直线AC的解析式为y=﹣ x+ .∵点E(2,m)在直线AC上,∴m=﹣ ×2+ = ,∴点E(2,).∵反比例函数y= 的图象经过点E,∴k=2× =3,∴反比例函数的解析式为y=(3)解:延长FC至M,使CM= CF,连接EM,则S△EFM= S△EFC, M(3,﹣0.5).在y= 中,当x=3时,y=1,∴F(3,1).过点M作直线MP∥EF交直线AB于P,则S△PEF=S△MEF.设直线EF的解析式为y=a'x+b',∴,解得,∴y=﹣ x+ .设直线PM的解析式为y=﹣ x+c,代入M(3,﹣0.5),得:c=1,∴y=﹣ x+1.当x=1时,y=0.5,∴点P(1,0.5).同理可得点P(1,3.5).∴点P坐标为(1,0.5)或(1,3.5).【解析】【解答】解:(1)∵D(3,3),∴OC=3,∴C(3,0).故答案为(3,0);【分析】(1)由D的横坐标为3,得到线段OC=3,即可确定出C的坐标;(2)由矩形的对边相等,得到AB=CD,由D的纵坐标确定出CD的长,即为AB的长,再由B的坐标确定出OB的长,再由A为第一象限角,确定出A的坐标,由A与C的坐标确定出直线AC的解析式,将E坐标代入直线AC解析式中,求出m的值,确定出E的坐标,代入反比例解析式中求出k的值,即可确定出反比例解析式;(3)延长FC至M,使CM=CF,连接EM,则S△EFM=S△EFC, M(3,﹣0.5).求出F(3,1),过点M作直线MP∥EF交直线AB于P,利用平行线间的距离处处相等得到高相等,再利用同底等高得到S△PEF=S△MEF.此时直线EF与直线PM的斜率相同,由F的横坐标与C横坐标相同求出F 的横坐标,代入反比例解析式中,确定出F坐标,由E与F坐标确定出直线EF斜率,即为直线PM的斜率,再由M坐标,确定出直线PM解析式,由P横坐标与B横坐标相同,将B横坐标代入直线PM解析式中求出y的值,即为P的纵坐标,进而确定出此时P的坐标.4.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,将点P向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上.(1)k的值是________;(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CE⊥x轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为△OAB的面积,若 = ,则b的值是________.【答案】(1)﹣2(2)3【解析】【解答】解:(1)设点P的坐标为(m,n),则点Q的坐标为(m﹣1,n+2),依题意得:,解得:k=﹣2.故答案为:﹣2.(2)∵BO⊥x轴,CE⊥x轴,∴BO∥CE,∴△AOB∽△AEC.又∵ = ,∴ = = .令一次函数y=﹣2x+b中x=0,则y=b,∴BO=b;令一次函数y=﹣2x+b中y=0,则0=﹣2x+b,解得:x= ,即AO= .∵△AOB∽△AEC,且 = ,∴.∴AE= AO= b,CE= BO= b,OE=AE﹣AO= b.∵OE•CE=|﹣4|=4,即 b2=4,解得:b=3 ,或b=﹣3 (舍去).故答案为:3 .【分析】(1)设出点P的坐标,根据平移的特性写出Q点的坐标,由点P,Q均在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,即可得出关于k,m,n,b的四元次一方程组,两式作差即可求出k的值;(2)由BO⊥x轴,CE⊥x轴,找出△AOB∽△AEC.再由给定图形的面积比即可求出==,根据一次函数的解析式可以用含b的式子表示出OA,OB,由此即可得出线段CE,AE 的长,利用OE=AE﹣AO求出OE的长,再借助反比例函数K的几何意义得出关于b的一元二次方程,解方程即可得出结论。

5.如图,已知函数的图象与一次函数的图象相交不同的点A、B,过点A作AD⊥轴于点D,连接AO,其中点A的横坐标为,△AOD 的面积为2.(1)求的值及 =4时的值;(2)记表示为不超过的最大整数,例如:,,设 ,若,求值【答案】(1)解:设A(x0, y0),则OD=x0, AD=y0,∴S△AOD= OD•AD= x0y0=2,∴k=x0y0=4;当x0=4时,y0=1,∴A(4,1),代入y=mx+5中得4m+5=1,m=-1(2)解:∵,∴=mx+5,整理得,mx2+5x-4=0,∵A的横坐标为x0,∴mx02+5x0=4,当y=0时,mx+5=0,x=- ,∵OC=- ,OD=x0,∴m2•t=m2•(OD•DC),=m2•x0(- -x0),=m(-5x0-mx02),=-4m,∵- <m<- ,∴5<-4m<6,∴[m2•t]=5【解析】【分析】(1)根据反比例函数比例系数k的几何意义,即可得出k的值;根据反比例函数图像上的点的坐标特点,即可求出A点的坐标,再将A点的坐标代入直线y=mx+5中即可求出m的值;(2)解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组,得出mx2+5x-4=0,将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4,根据直线与x轴交点的坐标特点,表示出OC,OD的长,由m2•t=m2•(OD•DC)=-4m,根据m的取值范围得出5<-4m<6,从而答案。

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