相
关
系
数
r
AB
的计算公式的推导
设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符
号的含义同上。

2
A σ=1
1-n 2)(∑-A A i 2
B σ=1
1-n )(B B i -∑2 2
P σ=
12)1(-i i P P
公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：
(2P σ)′=2 A A 2A σ－2 (1－A A )2B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB
令 (2P σ)′= 0 并简化，得到使2
P σ取极小值的A A ：
A A =AB
B A B A AB
B A B r r σσσσσσσ22
22-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1,否则公式（3）无意义。

由于使(2P σ)′=0的A A 值只有一个，所以据公式（3）计算出的A A 使2
P σ为最小值。

以上分析清楚地说明：对于证券A和证券B，只要它们的系数r
AB 适当小（r
AB
的“上限”的
计算，本文以下将进行分析），由证券A和证券B构成的投资组合中，当投资于风险较大的证券B
的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—A
A
），会比将全部资金投资于风险较小的证券A的方
差（风险）还要小；只要投资于证券B的资金在（1—A
A
）的比例范围内，随着投资于证券B的资
金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B的资金比例等于（1—A
A
）时，投资组合的方差（风险）最小。

这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。

按公式（3）计算出的证券A和证券B的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A和证券B的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。