动点问题讲义
1、如图1，已知线段 AB= 6, C D 是AB 上两点，且 AC = DB= 1, P 是线段CD 上一动点，在 AB 同侧 分别作等边三角形 APE 和等边三角形PBF G 为线段EF 的中点，点P 由点C 移动到点D 时，G 点移 动的路径长度为 .
2、正△ ABC 的边长为3cm,边长为1cm 的正△ RPQ 的顶点R 与点A 重合，点P, Q 分别在AC, AB 上，将△ RPQ 沿着边AB BC, CA 逆时针连续翻转(如图所示)，直至点
P 第一次回到原来位置，则点
P 运动的路径长为
3、如图，AB 为O O 的直径，AB=8,点C 为圆上任意一点，ODL AC 于D,当点C 在O 0上运动一周，点 D 运动 的路径长为 ______________
4、如图，一块边长为 6cm 的等边三角形木板 ABC 在水平桌面上绕 C 点按顺时针方向旋转到厶 A B ' C'的 位置，则边AB 的中点D 运动的路径长是 ____________________
5、如图所示，扇形 OAB 从图①无滑动旋转到图②，再由图②到图③，/ 0=60°, OA=1.
(1 )求O 点所运动的路径长；
(2) O 点走过路径与直线 L 围成图形的面积
.
cm .(结果保留n)
O
A O
图L
图2
C
6、如图，0从0B,垂足为0, P、Q分别是射线OA 0B上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4则动
点C运动形成的路径长是_______
90°的扇形0AB的弧AB上有一运动的点P.从点P向半径0A引垂线PH交当点
P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为.
&如图，正方形ABC啲边长是2, M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止•连接EM并延长交射线CD于点F,过M作EF的垂线交射线BC于点G连结EG FG
(1 )设AE= x时，△ EGF的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2) P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长.
9、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.
问题思考：
如图1,点P为线段AB上的一个动点，分别以AP BP为边在同侧作正方形APDC BPEF
(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值.
(2)分别连接AD DF、AF, AF交DP于点K,当点P运动时，在△ APK △ ADK △ DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.
问题拓展：
(3)如图2,以AB为边作正方形ABCD动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8若点P从点A出发，沿A T
B T O D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点0所经过的路径的长.
(4)如图3，在“问题思考”中，若点M N是线段AB上的两点，且AM=BN=1点G H分别是边CD EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点0所经过的路径的长及0M+0的最小值.
10、如图1,在Rt△ ABC中，/ C=90, AC=6 BC=8动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD// BC交AB于点D,连接PQ分别从点A C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t
> 0).
(1 )直接用含t的代数式分别表示：QB= ________ ,PD= ___
(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
(3)如图2,在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.
A
—
S
2
11、在直角坐标系中，0是坐标原点，点A坐标为（0, -1 ），点C是x轴上一个动点。

（1）如图〔，△ AOB^n^ BCD都是等边三角形，当点C在x轴上运动时，请探究点D的运动轨迹；
（2）如图2,A ABO^D^ ACD都是等腰直角三角形，当点C在x轴上运动时，请探究点D的运动轨迹；
（3）如图3,四边形OABE是正方形，请你画出正方形BCDF（ BCDF按照逆时针顺序），并探究当点C在x轴上运动时，点D的运动轨迹。

12、如图，在直角坐标系中，A点坐标为(0, 6), B点坐标为(8, 0),点P沿射线B0以每秒2个单位的速度匀速运动，同时点Q从A到0以每秒1个单位的速度匀速运动，当点Q运动到点0时两点同时停止运动.
(1 )设P点运动时间为t秒，M为PQ的中点，请用t表示出M点的坐标为 ______________
(2)设厶BPM勺面积为S,当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
(3) 请画出M点的运动路径，并说明理由；
(4) 若以A为圆心，AQ为半径画圆，t为何值时O A与点M的运动路径只有一个交点?
13、如图，在直角坐标系中，点A的坐标是(0.3 ),点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ ACP是等边三角形.当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB(此时点P与点B重合).
(1 )点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时(如图)，求证：△ AOC2A ABP由此
你发现什么结论？
(2)求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式.
14、如图，边长为4的等边三角形AOB勺顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一动点P 沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒•将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C点C随点P的运动而运动，连接CP CA 过点P作PD L OB于点D.
（1）填空：PD的长为______ 用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；
⑶在点P从O向A运动的过程中，△ PCA能否成为直角三角形？求t的值.若不能，说理由；
（4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为 _
15、等边三角形ABC勺边长为6,在AC BC边上各取一点E, F,连结AF, BE相交于点P.
（1 ）若AE=CF①求证：AF=BE并求/ APB的度数.②若AE=2,试求AP AF的值.
（2）若AF=BE当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.
R F C
16、如图，E, F是正方形ABCD勺边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G 连接BE交AG于点H.
若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是____________________ .
20、在平面直角坐标系中，O为原点，点A (- 2, 0),点B ( 0, 2),点E,点F分别为OA OB的中点.若
正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE D' F',记旋转角为a.
(I)如图①，当a =90°时，求AE', BF'的长；
(H)如图②，当a =135°时，求证AE' =BF',且AE'丄BF ;
(川)若直线AE'与直线BF'相交于点P,求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可)
17、如图，矩形ABCD的边AB=3cm AD=4cm点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作O O,点F 为O O
与射线BD的公共点，连接EF、CF,
过点E作EGL EF, EG与O O相交于点G,连接CG
(1)试说明四边形EFCG是矩形；
(2)当O O与射线BD相切时，点E停止移动.在点E移动的过程中，
①矩形EFCG勺面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长.
18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC勺两边OA 0C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA 4, OC= 2 •点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒•将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90。

得点D,点D随点P的运动而运动，连接DP DA
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△ DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△ 明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点
19. 如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动, 动点Q
从A点出发沿AB向终点B运动.两点同时
出发，速度均为每秒1个单位，设从出发
起运动了x秒.
（1）Q点的坐标为（__）_________
（用含x的代数式表示）；
（2）当x为何值时，△ APQ是一个
以AP为腰的等腰三角形？
（3）记PQ的中点为G.请你直接写出点G随点P，Q运动所经过的路线的长度.
(2)请在图②的正方形 ABC^(含边)，画出使/ APB=60°的所有的点P ,并说明理由. 问题解决： (3)如图③，现在一块矩形钢板
ABCD AB=4, BC=3工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大
的厶APB 和厶CP D 钢板，且/ APB=Z CP'D=60度.请你在图③中画出符合要求的点和，
并求出△ APB
的面积(结果保留根号) ABCD 内，画出使/ APB=90的一个点,
20、问题探究： (1)请在图①的正方形
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