高考数学圆锥曲线常见习题及解析（经典版）椭圆 一、选择题：1.已知椭圆方程22143x y +=,双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为A.2B.3C. 2D. 32．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线分别为12,l l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若2l ⊥PF 1，2l //PF 2，则双曲线的离心率是 （ ） A ．5 B ．2C ．3D ．2【答案】B【解析】双曲线的左焦点1(,0)F c -，右焦点2(,0)F c ，渐近线1:b l y x a =，2:bl y x a=-，因为点P 在第一象限内且在1l 上，所以设000(,),0P x y x >，因为2l ⊥PF 1，2l //PF 2，所以12PF PF ⊥，即1212OP F F c ==，即22200x y c +=，又00b y x a =，代入得22200()b x x c a+=，解得00,x a y b ==，即(,)P a b 。
所以1PF b k a c=+，2l 的斜率为b a -，因为2l ⊥PF1，所以()1b b a c a ⨯-=-+，即2222()b a a c a ac c a =+=+=-，所以2220c ac a --=，所以220e e --=，解得2e =，所以双曲线的离心率2e =，所以选B.3．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线x y 342=的焦点重合，则该双曲线的离心率等于A ．2B ．3C ．2D ．234.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 A.78B.1516C.34D.05.抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两渐近线围成的三角形的面积为 A. 3 B. 23 C. 2 D.33 【答案】D【解析】抛物线212y x =-的准线为3x =，双曲线22193x y -=的两渐近线为3y x =和3y x =-，令3x =，分别解得123,3y y ==-，所以三角形的低为3(3)23--=，高为3，所以三角形的面积为1233332⨯⨯=，选D. 6.过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距离之和等于5,则这样的直线A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于A ．355 B ．62C ．32D ．558.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,21c F c F -（，若椭圆上存在点P 使1221sin sin F PF c F PF a ∠=∠，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A.（0，）12-B.（122，） C.（0，22） D.（12-，1）9.过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=o ，则椭圆的离心率为 （ ）A ．22 B ．33 C ．12D ．13二、填空题：10.若圆C 以抛物线24y x =的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是 ；11.设F 是抛物线C 1：24y x =的焦点，点A 是抛物线与双曲线C 2：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的一条渐近线的一个公共点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为 【答案】5【解析】抛物线的焦点为(1,0)F .双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取by x a=，因为AF x ⊥，所以1A x =，所以2A y =±，不妨取(1,2)A ，又因为点(1,2)A 也在b y x a=上，所以2ba =，即2b a =，所以22224b a c a ==-，即225c a =，所以25e =，即5e =，所以双曲线的离心率为5。
12.已知双曲线的方程为221169x y -=，则双曲线的离心率是 .13.若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m = . 【答案】23【解析】因为焦点在x 轴上。
所以02m <<，所以222222,,2a b m c a b m ===-=-。
椭圆的离心率为12e =，所以2221242c m e a -===，解得32m =。
14.已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是（4，a ），则当||4a >时，||||PA PM +的最小值是 。
三、解答题：15. (本小题满分13分)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点()0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ,各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点.(2) 由题意设),(),,(),0,(),,0(22110y x N y x M x Q m P ，设l 方程为)(m y t x -=， 由MQ PM 1λ=知),(),(110111y x x m y x --=-λ ∴111λy m y -=-，由题意01≠λ，∴111-=y mλ -----------------7分同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知221my λ=- ∵321-=+λλ，∴0)(2121=++y y m y y （*） ------8分联立⎩⎨⎧-==+)(3322m y t x y x 得032)3(22222=-+-+m t y mt y t∴需0)3)(3(4422242>-+-=∆m t t t m （**）且有33,32222212221+-=+=+t m t y y t mt y y （***）-------10分 （***）代入（*）得023222=⋅+-mt m m t ，∴1)(2=mt ，由题意0<mt ，∴1-=mt (满足（**）)， ----12分 得l 方程为1+=ty x ,过定点(1,0),即P 为定点. ---------------13分 16.（本大题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线60x y -+=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。
（1）求椭圆C 的方程； （2）求OB OA ⋅的取值范围；（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。
(2)解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-由22(4)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-= 4分 由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：214k <设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221212223264124343k k x x x x k k -+==++， ① 6分 ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++17． 若椭圆1E : 2222111x y a b +=和椭圆2E : 2222221x y a b +=满足2211(0)a b m m a b ==>,则称这两个椭圆相似，m 是相似比.(Ⅰ)求过(2,6)且与椭圆22142x y +=相似的椭圆的方程； (Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A 、B 点（点A 在线段OB 上）. ①若P 是线段AB 上的一点，若OA ，OP ，OB 成等比数列，求P 点的轨迹方程; ②求OA OB g 的最大值和最小值.(Ⅱ) ① 当射线l的斜率不存在时(0,(0,A B ±,设点P 坐标P(0,0)y ,则204y =,02y =±.即P(0,2±). ………………5分当射线l 的斜率存在时，设其方程y kx =,P(,)x y 由11(,)A x y ,22(,)B x y 则112211142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2122212412412x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩||OA ∴=同理||OB =………………………7分又点P 在l 上，则y k x=，且由2222222222228(1)8(1)8()12212y k x y x x y y k x y x++++===+++, 即所求方程是22184x y +=. 又Q (0,2±)适合方程,故所求椭圆的方程是22184x y +=. ………………9分 ②由①可知,当l 的斜率不存在时，||||4OA OB ==g,当l 的斜率存在时,2228(1)4||||41212k OA OB k k +==+++g ,4||||8OA OB ∴<≤g , ………………11分综上,||||OA OB g 的最大值是8,最小值是4. ………………12分18.（本小题满分12分）已知长方形ABCD ，22=AB ，BC=1。
以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.（Ⅰ）求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点P （0，2）的直线l 交（Ⅰ）中椭圆于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得弦MN 为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。
（Ⅱ）由题意直线的斜率存在，可设直线l 的方程为)0(2≠+=k kx y .设M ，N 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x .联立方程：⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得，048)21(22=+++kx x k 有221221214,218kx x k k x x +=+-=+ ………………7分 若以MN 为直径的圆恰好过原点，则ON OM ⊥，所以02121=+y y x x ，…………8分所以，0)2)(2(2121=+++kx kx x x ，即04)(2)121212=++++x x k x x k （ 所以，04211621)1(42222=++-++kk k k 即0214822=+-kk ， ……………………9分 得2,22±==k k . ……………………10分所以直线l 的方程为22+=x y ，或22+-=x y .………………11分所在存在过P （0，2）的直线l ：22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点。