高二第二学期理科数学总结一、导数1、导数定义:f(x)在点x 0处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000;2、几何意义:切线斜率;物理意义:瞬时速度;3、常见函数的导数公式:①;②1')(-=n n nx x ;③x x cos )(sin '=;④x x sin )(cos '-=; ⑤a a a x x ln )('=;⑥x x e e =')(;⑦a x x a ln 1)(log '=;⑧xx 1)(ln '= 。
⑨211x x -='⎪⎭⎫⎝⎛;⑩()x x 21='4、导数的四则运算法则:;)(;)(;)(2vv u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 5、复合函数的导数:;x u x u y y '⋅'=' 6、导数的应用:(1)利用导数求切线:根据导数的几何意义,求得该点的切线斜率为该处的导数()(0x f k '=);利用点斜式()(00x x k y y -=-)求得切线方程。
注意ⅰ)所给点是切点吗?ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线? (2)利用导数判断函数单调性:①)(0)(x f x f ⇒>'是增函数;②)(0)(x f x f ⇒<'为减函数;③)(0)(x f x f ⇒≡'为常数; 反之,)(x f 是增函数0)(≥'x f ,)(x f 是减函数0)(≤'x f(3)利用导数求极值:ⅰ)求导数)(x f ';ⅱ)求方程0)(='x f 的根;ⅲ)列表得极值。
(4)利用导数最大值与最小值:ⅰ)求得极值;ⅱ)求区间端点值(如果有);ⅲ得最值。
(5)求解实际优化问题:①根据所求假设未知数和,并由题意找出两者的函数关系式,同时给出的范围;②求导,令其为0,解得值,舍去不符合要求的值;③根据该值两侧的单调性,判断出最值情况(最大还是最小?); ④求最值(题目需要时);回归题意,给出结论; 7、定积分 ⑴定积分的定义:)(lim )(1i ni ban f nab dx x f ξ∑⎰=∞→-=(注意整体思想)⑵定积分的性质:①⎰⎰=b abadx x f k dx x kf )()( (常数); ②⎰⎰⎰±=±bababadx x f dx x f dx x fx f )()()]()([2121;③⎰⎰⎰+=bcbacadx x f dx x f dx x f )()()( (其中)b c a <<。
(分步累加) ⑶微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式):⎰-==bab a a F b F x F dx x f )()(|)()((熟记'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11n x x n n(1-≠n ),()'=x x ln 1,()'-=x x cos sin ,()'=x x sin cos ,'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a xx ln ,()'=x x e e ) ⑷定积分的应用: ①求曲边梯形的面积:dx x g x f S ba ))()((⎰-=(两曲线所围面积); 注意:若是单曲线)(x f y =与x 轴所围面积,位于x 轴下方的需在定积分式子前加“—” ②求变速直线运动的路程:⎰=badt t v S )(;③求变力做功:⎰=bads s F W )(。
二、复数1.概念:⑴z=a+bi ∈Rb=0 (a,b ∈R)z= z 2≥0; ⑵z=a+bi 是虚数b ≠0(a,b ∈R);⑶z=a+bi 是纯虚数a=0且b ≠0(a,b ∈R)z +=0(z ≠0)z 2<0; ⑷a+bi=c+dia=c 且c=d(a,b,c,d ∈R);2.复数的代数形式及其运算:设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R),则:⑴z 1± z 2 = (a + b) ± (c + d)i ;⑵ z 1.z 2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd )+ (ad+bc)i ; ⑶z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) (分母实数化); 3.几个重要的结论:i i 2)1(2±=±;;11;11i i ii i i -=+-=-+(3)i i i i ii n n n n -=-===+++3424144,1,,1; (4)i 2321±-=ω 以3为周期,且1,,1320===ωωωω;21ωω++=0; (5)zz z z z 111=⇔=⇔=。
4.复数的几何意义(1)复平面、实轴、虚轴(2)复数bi a z +=),(,Z b a b a =⇔⇔向量)(点三、推理与证明(一).推理:⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。
①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。
注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。
注:类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。
注:演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情况;⑶结 论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。
(二)证明 ⒈直接证明 ⑴综合法一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。
综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。
分析法又叫逆推证法或执果索因法。
2.间接证明------反证法一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。
(三)数学归纳法一般的证明一个与正整数有关的一个命题,可按以下步骤进行: ⑴证明当取第一个值是命题成立;⑵假设当),(0*∈≥=N k n k k n 命题成立,证明当1+=k n 时命题也成立。
那么由⑴⑵就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。
注:①数学归纳法的两个步骤缺一不可,用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行; ① 的取值视题目而定,可能是1,也可能是2等。
四、排列、组合和二项式定理⑴排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m +1)=)!(!m n n -(m ≤n,m 、n ∈N*),当m=n 时为全排列=n(n-1)(n-2)…3.2.1=n!,10=n A ;⑵组合数公式:123)2()1()1()1(⋅⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅--⋅⋅⋅-⋅==m m m m n n n A A C m mm n m n(m ≤n ),10==n nn C C ;⑶组合数性质:m n m n m n m n n mnC C C C C 11;+--=+=;12122-∙=+⋯++n n n n n n nC C C ; ⑷二项式定理:)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n k k n k n n n n n n ①通项:);,...,2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+②注意二项式系数与系数的区别;⑸二项式系数的性质:①与首末两端等距离的二项式系数相等(m n nm n C C -=); ②若n 为偶数,中间一项(第2n+1项)二项式系数(2nn C )最大;若n 为奇数,中间两项(第21-n +1和21+n +1项)二项式系数(21-n n C ,21+n n C )最大;③;2;213120210-=⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C(6)求二项展开式各项系数和或奇(偶)数项系数和时,注意运用代入法(取1,0,1-=x )。
五. 概率与统计⑴随机变量的分布列:(求解过程:直接假设随机变量,找其可能取值,求对应概率,列表) ①随机变量分布列的性质:10≤≤i p ,i=1,2,…; p 1+p 2+…=1; ②离散型随机变量:期望:EX =x 1p 1 + x 2p 2 + … + x n p n +… ;方差:DX =⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-n n p EX x p EX x p EX x 2222121)()()( ; 注:DX a b aX D b aEX b aX E 2)(;)(=++=+;22)(EX EX DX -= ③两点分布(0—1分布):X 0 1 期望:EX =p ;方差:DX =p(1-p). P 1-p p ④超几何分布:一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品,则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P nNk n MN k M ====-- 其中,N M N n ≤≤,。
称分布列X 0 1 … mP n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … nNm n MN m M C C C -- 为超几何分布列, 称X 服从超几何分布。
⑤二项分布(n 次独立重复试验):若X ~B (n,p ),则EX =np, DX =np (1- p );注:k n k k n p p C k X P --==)1()( 。
⑵条件概率:)()()()()|(A P AB P A n AB n A B P ==,称为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率。