16.3 单个正态总体参数的假设检验
设,,,12n X X X 是来自正态总体()2,N μσ的样本，考虑如下三种关于μ的检
验问题 (1) 00:H μμ≤ vs 10:H μμ> 单侧检验 (2) 00:H μμ≥ vs 10:H μμ< 单侧检验 (3) 00:
H μμ= vs 10:H μμ≠ 双侧检验
********************************************************** (1) 00:
H μμ≤ vs 10:H μμ> 单侧检验
(3) 00:H μμ= vs 10:H μμ≠ 双侧检验
********************************************************** 下面给出σ已知时，上述三种检验情况的具体实现。

σ已知时的，对于单侧检验问题(1) 00:H μμ≤ vs 10:H μμ>，
2
~,
X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，故选用服从标准正态分布的检验统计量X u =， 通常称此检验为u 检验。

拒绝域选为()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥σμ-==c x n u x x W n
01:,, ，c 为临界值,简记为{}c u ≥。

若显著性水平要求为α，则可确定α-=1u c 。

同理对 问题(2)，00:
H μμ≥ vs 10:H μμ<，水平为α的检验的拒绝域为
()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤σμ-==αu x n u x x W n 01:,, 。

问题(3)，00:
H μμ= vs 10:H μμ≠，水平为α的检验的拒绝域为
()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧≤σμ-=
=α2-101u x n u x x W n :,, 。

********************************************************** 例16.3.1 设某工厂生产一种产品，其质量指标服从正态分布()2
2,μN
，μ为
平均质量指标，其值越大则质量越好，10=μ是达到优级的标准。

进货商店从一批产品抽取样本,,
,12n X X X ，16=n ，取显著性水平为050.=α，如何检
验这一批产品是否达到优秀。

分析： 根据工厂产品社会声誉可能的不同，分以下两种情况讨论。

情形一，按照过去长时间的记录，商店的检验人员相信该厂的产品质量很好。

情形二，按照过去长时间的记录，该厂的产品质量一直不够好。

情形一求解，按照过去长时间的记录，商店的检验人员相信该厂的产品质量很好。

0:
10H μ≥ vs 1:10H μ<
当10μ=时，样本均值~,2
2
1016X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()~,100112
X N -。

此时的拒绝域为...005101101645918122x W u x ⎧⎫-⎪⎪⎧⎫=≤=≤-⋅=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭。

当样本均值的观测值.918x >时，就接受产品为优级。

情形二求解，按照过去长时间的记录，该厂的产品质量一直不够好。

这时，商店就可能坚持以0μ≤μ作为原假设，
0:
10H μ< vs 1:10H μ≥
此时的拒绝域为
..1005101101645122x W u x -⎧⎫-⎪⎪⎧
⎫=≥=≥+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
，
当样本均值的观测值..110164510822
x ≥+=时，接受产品为优级。

这个例子反映了假设检验“保护零假设”的特性。

情形一的做法对接受产品为优级有利；情形二的做法则对接受产品为优级比较苛刻，要求有强有力的证据证明产品质量优秀，才能接受产品为优级。

假设检验中，都是以常识性的、经验性的假设作为原假设，也就是以通常认为正常的情况作为原假设，除非数据表明特别的异常，才拒绝原假设。

**********************************************************
σ未知时，正态总体()2,N μσ关于μ的假设检验，可利用服从1-n 自由度
的t
分布统计量)0X t S
μ-=
进行检验，通常称为t 检验。

三种关于μ的检验问题的显著性水平为α的拒绝域分别为
(1) (
))()011,,:1n x W x x t t n s αμ-⎧⎫-⎪⎪==≥-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
(2) ()()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤μ-=
=α101n t s x n t x x W n :,, (3) ()()()⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩
⎪
⎨⎧-≤μ-=
=α12-101n t s x n t x x W n :,, 。

********************************************************** 假设检验与置信区间存在密切的关联。

(1) 00:
H μμ≤ vs 10:H μμ> 接受域为1α-置信水平的上侧置
信限的置信区间， (2) 00:
H μμ≥ vs 10:H μμ< 接受域为1α-置信水平的下侧置
信限的置信区间， (3) 00:H μμ= vs 10:H μμ≠ 接受域为1α-置信水平的双边置
信区间。

**********************************************************。