立体几何难题汇编1
1. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是（）
①能构成矩形；
②能构成不是矩形的平行四边形；
③能构成每个面都是等边三角形的四面体；
④能构成每个面都是直角三角形的四面体；
⑤能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】证明题．
【分析】画出图形，分类找出所有情况即可．
【解答】解：作出正方体：
在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体z只能有以下四种情况：
①任意一个侧面和对角面皆为矩形，所以正确；
③四面体A
1-BC1
D是每个面都是等边三角形的四面体，所以正确；
④四面体B
1-ABD
的每个面都是直角三角形，所以正确；
⑤四面体A
1-ABD
的三个面都是等腰直角三角形，第四个面A1BD是等边三角形．
由以上可知：不能构成不是矩形的平行四边形，故②不正确．
综上可知：正确的结论个数是4．
故选C．
【点评】全面了解正方体中的任意四个顶点构成的四面体和平面四边形是解题的关键．
2. 一个半径为1的小球在一个棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是____________ ．
【考点】棱锥的结构特征．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为
46
26
46
，故小三角形的边长为，做出面积相减，得到结果．
【解答】解：考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为
故小三角形的边长为 小球与一个面不能接触到的部分的面积为 ，∴几何体中的四个面小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 4×18
=72 故答案为：72 【点评】本题考查棱柱的结构特征，本题解题的关键是看出小球的运动轨迹是什么，看出是一个正三角形，这样题目做起来就方向明确．
3.（2012•上海）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ______________.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，说明B 与C 都是在以AD 为焦距的椭球上，且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，BE=CE ．取BC 中点F ，推出四面体
ABCD 的体积的最大值，当△ABD 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可．
【解答】
解：作BE ⊥AD 于E ，连接CE ，则AD ⊥平面BEC ，所以CE ⊥AD ，由题设，B 与C 都是在以AD 为焦点的椭圆上，
且BE 、CE 都垂直于焦距AD ，
AB+BD=AC+CD=2a ，显然△ABD ≌△ACD ，所以BE=CE ．取BC 中点F ，∴EF ⊥BC ，EF ⊥AD ，要求四面体ABCD 的体积的最大值，
46
26
131346*46**26*26*183,2222-=33
3
因为AD是定值，只需三角形EBC的面积最大，因为BC是定值，所以只需EF最大即可，当△ABD是等腰直角三角形时几何体的体积最大，∵
AB+BD=AC+CD=2a，∴AB=a，所以EB=
EF=
所以几何体的体积为：
．故答案为：
【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．
4. 如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知在直角三角形ABC中，BC=1，AC=2，
AB=．该直角三角形在空间做符合以下条件的自由运动：（1）A∈l，
（2）C∈α．则B、O两点间的最大距离为 _________.
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】转化思想．
【分析】先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA 为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．
【解答】解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．设∠ACO=θ，B（x，y），则有：
x=ACcosθ+BCsinθ=2cosθ+sinθ，y=BCcosθ=cosθ．∴
x2+y2=4cos2θ+4sinθcosθ+1=2cos2θ+2sin2θ+3
22 1.
a c
--
2222
112
*21*2* 1.
323
a c c c a c
--=--
22
2
1.
3
c a c
--
5
=2sin（2θ+）+3，
当sin（2θ+）=1时，x2+y2最大，为 +3，
则B、O两点间的最大距离为1+ .
故答案为：1+ ．
【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．
5.如图，直线l⊥平面α，垂足为O，正四面体ABCD的棱长为4，C在平面α内，B是直线l上的动点，则当O到AD的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为
（）
A．4+2
B．2 +2 C．4 D．4
【考点】点、线、面间的距离计算；棱锥的结构特征；简单空间图形的三视图．
【专题】计算题；压轴题；空间位置关系与距离．
【分析】确定直线BC与动点O的空间关系，得到最大距离为AD到球心的距离+半径，再考虑取得最大距离时四面体的投影情况，即可求得结论．
【解答】解：由题意，直线BC与动点O的空间关系：点O是以BC为直径的球面上的点，所以O到AD的距离为四面体上以BC为直径的球面上的点到AD 的距离，最大距离为AD到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径
=2+2 .
虑取得最大距离时四面体的投影情况，此时我们注意到AD垂直平面OBC，且平行平面α，故其投影是以AD为底，O到AD 的距离投影，即（2
+2 ）cos45°=2+
为高的等腰三角形，其面积=
故选A．
2
2
2
4
2
2
22
22
1
*4*2+22=+ 2.
2
（）42
2
【点评】本题考查点、线、面间的距离计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
6. 设l1，l2，l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：
①∃A
i∈l i（i=1，2，3），使得△A1A2A3是直角三角形；②∃A i∈l i（i=1，2，3），使得△A1A2A3是等边三角形；③三条直线上存在四点A i（i=1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】本题利用画图结合运动变化的思想进行分析．我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放置，容易看出此时 BC＜AB=AC．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC（这是可以做到的，只要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，就得到①和②都是正确的．至于③，结合条件利用反证法的思想方法进行说明即可．
【解答】解：我们不妨先将 A、B、C 按如图所示放
置．容易看出此时 BC＜AB=AC．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC（这是可以做到的，只要 A、B 的速度满足一定关系），而当A、B 移得很高很高时，不难想象△ABC 将会变得很扁，也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC 成为等边三角形，亦总有另一刻，使△
ABC 成为直角三角形（而且还是等腰的）．这样，就得到①和②都是正确
的．至于③，如图所示．
为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为⊤．假设 A 是⊤，那么由 AD⊥AB，AD⊥AC 知 L3⊥△ABC，从而△ABC 三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与 AB⊥AC 矛盾．同理可知 D 是⊤时也矛盾；假设 C 是⊤，那么
由 BC⊥CA，BC⊥CD 知 BC⊥△CAD，而 l
1∥△CAD，故 BC⊥l1，从
而 BC 为 l
1与 l2的距离，于是 EF∥BC，EF=BC，这样就得到 EF⊥FG，矛
盾．同理可知 B 是⊤时也矛盾．综上，不存在四点A
i（i=1，2，3，4），使得
四面体A
1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．故选B．
【点评】本小题主要考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于难题．。