3.圆周运动问题
一、基础知识
1．解决圆周运动力学问题的关键
(1)正确进行受力分析，明确向心力的来源，确定圆心以及半径．
(2)列出正确的动力学方程F ＝m v 2r ＝mr ω2
＝m ωv ＝mr 4π2
T 2.结合v ＝ωr 、T ＝2πω＝2πr v
等
基本公式进行求解．
2．抓住“两类模型”是解决问题的突破点
(1)模型1——水平面内的圆周运动，一般由牛顿运动定律列方程求解．
(2)模型2——竖直面内的圆周运动(绳球模型和杆球模型)，通过最高点和最低点的速度常利用动能定理(或机械能守恒)来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析求解．
3．竖直平面内圆周运动的两种临界问题
(1)绳球模型：小球能通过最高点的条件是v ≥gR . (2)杆球模型：小球能通过最高点的条件是v ≥0. 二、典型例题
考点1 水平面内的圆周运动问题
[例1] (多选)如图，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，
a 与转轴OO ′的距离为l ，
b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重
力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A ．b 一定比a 先开始滑动
B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等
C ．ω＝ kg
2l
是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝
2kg
3l
时，a 所受摩擦力的大小为kmg 解析 本题从向心力来源入手，分析发生相对滑动的临界条件．小木块a 、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f ＝m ω2
R .当角速度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a ：f a ＝m ω2
a l ，当f a ＝kmg 时，即kmg ＝m ω2
a l ，ωa
＝
kg l ；对木块b ：f b ＝m ω2b ·2l ，当f b ＝kmg 时，即kmg ＝m ω2
b ·2l ，ωb ＝ kg
2l
，所以b 先达到最大静摩擦力，选项A 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则f a ＝m ω2l ，f b
＝m ω2
·2l ，f a <f b ，选项B 错误；当ω＝
kg
2l 时b 刚开始滑动，选项C 正确；当ω＝ 2kg 3l
时，a 没有滑动，则f a ＝m ω2
l ＝23
kmg ，选项D 错误．
答案 AC
考点2 竖直面内的圆周运动问题
[例2] (多选)如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy 中，长为L 的细绳一端固定于点A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
0，－L 3.另一端系质量为m 电量为q 一带正电的小球．现在y 轴正半轴上某处B
固定一钉子，再将细绳拉至水平位置，由静止释放小球使细绳碰到钉子后小球能绕钉转动．已知整个空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度为2mg
q
.则( )
A ．小球一定能绕
B 做完整的圆周运动 B ．当y B ＝4L
15时小球能做完整的圆周运动
C ．当y B ＝L
5
时小球能做完整的圆周运动
D ．若小球恰好能做完整的圆周运动，则绳能承受的拉力至少为6mg 解析 根据题意：Eq ＝2mg ，设圆周运动的半径为R ，如图所示：
恰好通过最低点C ，根据牛顿第二定律：Eq －mg ＝m v 20
R
，则v 0＝gR
从A 到C ，根据动能定理：(Eq －mg )(L －2R )＝12mv 2
C ，
代入整理可以得到：R ＝2
5
L
故B 点坐标为：y B ＝23L －25L ＝4
15L ，故选项A 、C 错误，B 正确；从A 到D ，根据动能定
理：(Eq －mg )L ＝12
mv 2
D
在D 点，根据牛顿第二定律：T ＋mg －Eq ＝m v 2D
R
整理可以得到：T ＝6mg ，故选项D 正确． 答案 BD 三、针对训练
1．小球P 和Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P 球的质量大于Q 球的质量，悬挂P 球的绳比悬挂Q 球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( )
A ．P 球的速度一定大于Q 球的速度
B ．P 球的动能一定小于Q 球的动能
C ．P 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力
D ．P 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度
解析：选C.两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL ＝12
mv 2
，v ＝2gL ，因L P <L Q ，则v P <v Q ，
又m P >m Q ，则两球的动能无法比较，选项A 、B 错误；在最低点绳的拉力为F ，则F －mg ＝m v 2
L
，
则F ＝3mg ，因m P >m Q ，则F P >F Q ，选项C 正确；向心加速度a ＝
F －mg
m
＝2g ，选项D 错误． 2．如图叠放在水平转台上的物体A 、B 、C 正随转台一起以角速度ω匀速转动，A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ，B 与转台、C 与转台、A 与B 间的动摩擦因数都为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r .最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )
A ．
B 对A 的摩擦力有可能为3μmg
B ．
C 与转台间的摩擦力大于A 与B 间的摩擦力 C ．转台的角速度ω有可能恰好等于
2μg
3r
D ．若角速度ω再在题干所述原基础上缓慢增大，A 与B 间将最先发生相对滑动
解析：选C.对AB 整体， 有：(3m ＋2m )ω2
r ≤μ(3m ＋2m )g ① 对物体C ，有：m ω2(1.5r )≤μmg ② 对物体A ，有：3m ω2r ≤μ(3m )g
③
联立①②③解得：ω≤
2μg
3r
，即满足不发生相对滑动，转台的角速度ω≤ 2μg
3r
，可知A 与B 间的静摩擦力最大值f m ＝3m ·r ·ω2＝3mr ·2μg
3r ＝2μmg ，故A 错误，故C 正确．由
于A 与C 转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力有m ×1.5r ω2
×3mr ω2
，即C 与转台间的摩擦力小于A 与B 间的摩擦力，故B 错误；由A 选项分析可知，最先发生相对滑动的是物块
C ，故
D 错误，故选C.
3．如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P ，细线的上端固定在金属块Q 上，Q 放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动，现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动，而金属块Q 始终静止在桌面上的同一位置，则改变高度后与原来相比较，下面的判断中正确的是( )
A ．细线所受的拉力不变
B ．小球P 运动的线速度变大
C ．小球P 运动的周期不变
D ．Q 受到桌面的静摩擦力变小
解析：选B.设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T ，细线的长度为L .
P 球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有：
T ＝
mg cos θ
，mg tan θ＝m ω2
L sin θ，
mg tan θ＝m v 2
L sin θ
，
得线速度v ＝gL tan θsin θ，
角速度ω＝
g
L cos θ
，使小球改到一个更高的水平面上作匀速圆周运动时，θ增大，
cos θ减小，sin θtan θ增大，则得到细线拉力T 增大，角速度ω增大，线速度增大，根据公式T ＝2π
ω
可得周期减小，故B 正确，A 、C 错误；对Q ，由平衡条件得知，Q 受到桌面的
静摩擦力等于细线的拉力大小，故静摩擦力增大，D 错误．。