数列专题解析方法一、数列通项公式的求解类型一：观察法例 1: 写出下列数列的一个通项公式（1）3,5,9,17,33 ，；（2）11,22,33,44, ;2345（3）7,77.777.7777.（4）2, 1,10, 17,26, ;3 7 9 11（5）3,9,25,65, ;2 4 8 16类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式n 1 n m(2)a n a1q n1 a m q n m例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解S1,(n 1)(1)(1) a nn S n S n 1(n 2)例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式(2)S n S n 1的推广例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公3式类型四：累加法形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数)(1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式(2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式(3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式(4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式n 22nn类型五：累乘法形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1例 13：a n n 1a n 1,a11,(n 2) ，求a n的通项公式n类型六：构造数列法(1)形如a n 1 pa n q(其中p,q均为常数且p 0 )型的递推式①若p 1时，数列 { a n} 为等差数列 ;②若q 0时，数列{ a n }为等比数列 ;③若p 1且q 0时，数列 { a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求 .例 14：a1 1,a n 1 3a n 2 ，求a n 的通项公式方法 1：设a n 1p(a n ) ，设a n 1 3(a n ) 方法 2：an 1 3an 2 a n 1 a n 3(a n a n 1)a n 3a n 1 2(2)形如a n 1 pa n f (n) (p 1)型的递推式①当 f ( n)为一次函数类型(即等差数列) 例 15：a1 1,a n 1 3a n 2n ，求a n 的通项公式法 1：设a n An B p a n 1 A(n)1 B ，通过待定系数法确定A、B 的值，转化成以a1 A B 为首项，以p 为公比的等比数列a n An B ，再利用等比数列的通项公式求出a n An B 的通项整理可得a n.法 2：an 1 pan f (n)a n 1a n p(a n a n 1) d ，令b n a n 1a n 得：a n pa n 1 f (n 1)b n pb n 1 d ，可解b n ,继而可解a n②当 f ( n)为指数函数类型(即等比数列) 形如a n 1 pa n q n(p q) 型例 16：a1 1,a n 1 3a n 2n，求a n 的通项公式法 1：设a n f(n) p a n 1 f(n 1) ，通过待定系数法确定的值，转化成以a1 f (1)为首项，以p为公比的等比数列a n f (n) ，再利用等比数列的通项公式求出a n f (n) 的通项整理可得a n.法 2：递推公式为a n 1 pa n q n(其中 p，q 均为常数) 或a n 1 pa n rq n (其中 p，q, r 均为常数)时，要先在原递推公式两边同时除以q n 1，得：a n n 11 p an n 1，引入辅助数列b n(其中b n an n )，得：b n 1 p b n 1，q q q q q q q可解b n, 继而可解a n法 3：通法 , 在a n 1 pa n f(n) 两边同时除以p n 1可得到ann 11annf (nn1)，令an n b n，则b n 1b n f (n n1)，求出b n之后得a n p n b np p p p p形如a n 1 pa n q n(p q) 型可用法 2、法 3 求解类型七：对数变换法形如a n 1 pa q(p 0,a n 0)型的递推式在原递推式a n 1 pa q两边取对数得lga n 1 qlga n lg p，令b n lg a n 得：b n 1 qb n lg p，化归为a n 1 pa n q型，求出b n 之后得a n10bn.(注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择)。

可选取以p 为底例 17: a1 1,a n 1 2a n3，求a n 的通项公式类型八：倒数变换法(1)形如a n 1 a n pa n 1a n ( p 为常数且p 0 )的递推式两边同除于a n 1a n，转化为 1 1p 形式，化归为a n 1 pa n q 型求出an an 11的表达式，再求a na n例 18：a1 1,a n 1 a n 2a n 1a n ，求a n 的通项公式( 2)形如a n 1man的递推式n 1pa n q采用取倒数方法转化成 1 q 1 p的形式，化归为a n 1 pa n q型a n 1 m a n m求出1的表达式，再求a na n例 19：a1 1,a n 1 2an，求a n 的通项公式3a n 2例 20：a1 1,3a n 1a n 2a n 2a n 1 ，求a n 的通项公式类型九：形如a n 2 pa n 1 qa n 型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列{a n a n 1}的形式求解。

方法为：设a n 2 ka n 1 h(a n 1 ka n) ，比较系数得h k p, hk q ，可解得h、k ，于是{a n 1 ka n} 是公比为h的等比数列，这样就化归为a n 1 pa n q 型。

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式a n.二、数列前n 项和的求解类型一：直接相加法S n a1 a2 a n.类型二：公式法1) na1n(n 1) d2) S n 1 qna1(q 1) 1q(q 1)n(a1 a n )S n 12na1 a n q类型三：倒序相加法S n a 1 a 2 a n S n a n a n 1a 1类型四：(乘公比)错位相减法 适用于 c n a n b n ，其中 a n 为等差数列， b n 为等比数列S n a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 a n 1b n 1 a n b n ①①- ②例 21：已知数列 a n 的前 n 项和为 S n 且 a n n 2n,求S n 类型五：裂项相消法1an(an b 1)(an b 2)= (b 2 b 1)(an b 1 an b 2).③ 1 1 ( a b);a b a b例 22：已知数列 a n ,且a n1,求其前 n 项和S n .n n(3n 2)(3n 1) n类型六：分组转化求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当 拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其 合并即可 . 一般分两步： ①找通向项公式②由通项公式确定如何分组 例 23：数列 n(n 1) 的前 n 项和为 ___________________________ .3) 2 2 2 222 2 2n(n 1)(2n1)qS na 1b 2 a 2b 3a n 1b n a n b n 1 ②11 n(n 1) n 1n1②1(2n 1)(2n 1) 12(2n 111 2n 1);类型七：并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和 . 形如a n ( 1)n f (n) 类型可采用两项合并求解 .例 24：数列( 1)n n 的前 2010 项和S2010 ____ .类型八：|a n|型求和，其中T n为| a n |的前n项和，S n为a n 的前n项和( 1)a m 0,a m 1 0S n(1 n m)Tn2S m S n (n m)例 25：已知a n 为等差数列，a n 10 3n,求| a1 | |a2| |a n |. (2)a m 0,a m 1 0S n (1 n m)TnS n 2S m(n m)例 26：已知a n 为等差数列，a n 3n 63,求|a n | 的前n项和.。