系泊系统建模 Prepared on 22 November 2020系泊系统的设计摘要本文通过建立数学模型，对系泊系统的传输节点示意图进行受力分析，建立了静力学模型，并通过增加风力、水流力等对系泊系统进行更优化的设计。

对于问题一，在海平面处于静止状态下，对风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标吃水深度和浮标游动区域的计算，首先对锚链运用微元法对其中一节进行分析，再对其他物体进行受力分析和力矩平衡，得到静力学平衡的方程组，使用MATLAB对其求解，可得锚链形状（见图1和图2）其它求解结果：风速12m/s时，钢桶的倾斜角度为°，从上到下的倾斜角度为°°°°，吃水深度为（m）,游动区域为（m）。

风速24m/s时，钢桶的倾斜角度为°，从上到下的倾斜角度为°°°°，吃水深度为（m）,游动区域为（m）。

对于问题二，在风速为36m/s时，钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、和浮标游动区域的计算问题，首先利用问题1中的算法求解出结果，发现在风速为36m/s时，钢桶的倾斜角度超过了5度，锚链在锚点与海床的夹角超过了16度，调节重物球的质量为3000kg，其调节前和调节后36m/s的求解结果，调节前：钢桶的倾斜角度为°从上到下的倾斜角度为°°°°，游动区域为（m）。

调节后：钢桶的倾斜角度为°从上到下的倾斜角度为°°°°，游动区域为（m）。

对于问题三，在考虑风力和水流力的情况下，本文基于风力和水流力为一对阻力的基础上，在布放点水的深度变化下，首先分别对浮标、钢管、钢桶及重物球系统进行受力分析，重新建立静力学模型，再利用软件进行求解出在水深为下，钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域（结果见文中），同时推出更合理的系泊系统的设计。

关键词：系泊系统的设计静力学模型单目标优化力学方程组1问题重述问题背景近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。

某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链（链环中间没有档撑的0型环）环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。

钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

问题提出问题一：假设海水静止时，在题中所给的浮标、钢管、钢桶、重物球、锚链、锚的相关数据，分别别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题二：在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题三：由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

布放点的海水速度最大可达到s、风速最大可达到36m/s。

请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

2问题分析问题要求锚链末端与锚的连接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，且对于钢桶的倾斜角度超过5度时，设备的工作效果较差，为此，我们要通过确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度与游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1的分析问题要求在海水静止时，分别计算海面为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

为此，首先对传输节点示意图进行整体分析进而分析浮标的受力情况，由立体几何中的相关知识平面直角坐标系，对浮标、钢管、锚链、钢桶及重物球系统进行局部受力分析，然后通过牛顿第一定律保持平衡静止，进而建立了静力学模型。

对于吃水深度，通过水的深度来计算，而浮标的游动区域，通过各个物体在水平方向的投影长度求解出游动区域半径，然后利用MATLAB软件，求解出风速为12m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，风速为24m/s以此类推。

问题2的分析问题2是在问题1的假设下，求出风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域；首先利用问题1的模型进行求解，发现钢桶的倾斜角度超过5度，锚链在锚点与海床的夹角超过16度，为此，可将问题2建立一个优化模型，并对所建立的模型，，在满足钢桶的倾斜角度不超过5度、锚链在锚点与海床的夹角不超过16度的情况下，利用MATLAB软件求解出尽可能小的浮标吃水深度、钢桶倾斜角度及游动区域所对应的的重物球质量。

问题3的分析对于问题三，因为受到潮汐等因素的影响，布放点的海水速度最大可达到s、风速最大可达到36m/s，为此，在考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统的设计，本文将在第一问的基础上，加上风力、水流力和水深情况，再对各个物体进行受力分析，重新建立静力学模型。

然后，以此模型为背景，设计出更加合理的系泊系统。

3模型假设1.假设海水的密度是分布均匀的。

2.假设各个深度的水流的流速近似相等。

3.假设不考虑锚链自身的弹性伸长。

4.假设所用的重力加速度为m。

5. 假设一切阻力忽略不计。

4定义与符号说明浮标的吃水深度重力加速度重物球的质量钢桶的重力钢桶与竖直方向的角度单位长度锚链的质量浮标游动区域半径浮标游动区域重物球的质量5模型的建立与求解问题一的解答稳定后的系泊系统可以分为锚、锚链、钢桶和重物球、钢管、浮标五个部分标五个部分，如图为系泊系统的结构图：、图1系泊系统结构图下面对浮标、钢管、钢桶和重物球、锚链依次进行分析（一） 浮标的受力分析如图1所示，浮力在风速为v 的情况下处于平衡状态，且对于浮力收到4个力作用。

图2浮力的受力图其中，风F 为风速引起的力，浮F 为在水中的浮力，其方向竖直向上，1F 为钢管对浮标的作用力，G 为浮标的重力，s 为物体在风向法平面的投影面积(m 2)，h 为浮标的高度，假设浮标的吃水深度为吃h ，由阿基米德原理可知，有如下关系：针对浮标而言，当其处于受力平衡时，其受力方程如下所示：（二） 四根钢管的受力分析图3钢管的受力分析由图2可知，对于第一节钢管的受力平衡为：其中，l 为钢管的长度,2F 为第二节钢管对第一节钢管的作用力。

而对于其他钢管的受力分析以及力矩平衡，可以以此类推： 第二节钢管的受力和力矩平衡分析： 第三节钢管的受力和力矩平衡分析： 第四节钢管的受力和力矩平衡分析：（三） 对钢桶的受力分析图4钢桶与重物球的受力分析图3的受力和力矩平衡状态如下：其中，球G 为重物球（铁球，密度为7900m kg /）的质量，桶G 为钢桶的质量，5F 为锚链对钢桶的作用力，4F 为钢管对钢桶的作用力，β为钢桶与竖直方向的角度。

（四） 对锚链的受力分析：利用微元法对锚链其中一节进行分析图5锚链的受力分析图其中，2T 为锚对锚链的作用力，2γ为作用力与水平面的夹角，mg 为AB 这一节的重力。

则对于B 点的受力分析如下：γγsin sin 22T T mg =+（1） γγcos cos 22T T =（2）利用)2()1(可得：2222cos sin tan γγγT T mg +=（3） 由坐标系可知：γtan =dxdy（4） 联合（3）、（4）可知：2222cos sin γγT T mg dx dy+=对于锚链，a l m ω=其中，ω为单位长度锚链的质量，a l 为AB 的长度。

则有：2222cos sin γγωT T g l dx dya +=（5） 有弧长公式：222)()()(dy dx dL += 得：dx dxdy dL 2)(1+=对其进行积分可得：dx dxdy L ⎰+=2)(1代入（5）可得： 令k dxdy=则有： 对x 进行求导： 然后对x 和k 进行分离： 求解可得：1222cos )1ln(C x T gk k +=++γω（6）又因为)1ln(arcsin 2++=x x hx 代入（6）中得：对上式变量分离并积分得到锚链的曲线方程为：基于以上对各物体的受力分析，便可得出所求问题的方程。

1.吃水深度的计算：对于吃水深度，我们利用整个系统在水中的深度减去除浮标以外的各物体在竖直方向的高度，其公式如下：其中，c y 为锚链的高度，H 为水的深度。

2.游动区域的计算针对浮标的游动区域，可以把浮标行走的区域看成圆形区域，在风力达到最大且方向保持不变时，游动区域半径达到最大，而半径的长度就为各个物体在水平方向的投影区域，其中锚链在水平方向的距离为x ，则浮标的游动区域半径R 如下：再利用圆的面积公式2r S π=便可得出浮标的游动区域。

模型一的求解与结果分析为求解当选用II 型电焊锚链，选用的重物球的质量为1200kg 。

现将该型传输节点布放在水深18m 、海床平坦、海水密度为×103kg/m 3的海域。

在海平面静止时，海面风速为12m/s 和24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域，利用所建立的静力学模型，通过MATLAB 软件便可求解。

针对12m/s 和24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、浮标的吃水深度和游动区域如表1所示当v为12m/s时，锚链的形状由图4可见：图612m/s的锚链形状由图4可知，当风速为12m/s时，锚链有一部分拖地，其拖地长度为，故锚链与锚的倾斜角度为0度。

当风速为24m/s时的锚链形状（锚链不拖地）为：图724m/s时锚链的形状问题二的解答由题目可知，当锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角超过16度，锚就会被拖行，钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳，若钢桶倾斜则影响设备的工作效果。

当钢桶与竖直方向的夹角即倾斜角超过5度时，设备工作效果较差，为此，我们建立以钢桶的倾斜角度尽可能小为目标函数，并以重物球的质量范围、钢桶的倾斜角度不超过5度为约束条件的优化模型如下：m为重物球的质量，对所选取得变量进行其中， 为钢桶的倾斜角度，球无量钢化处理，再利用MATLAB软件进行求解并对结果进行比较和分析。