1、如图,四边形AB ＣD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点,连结AG ,点Ｅ、F 分别在A Ｇ上，连接B Ｅ、DF ，∠1=∠２ ， ∠3=∠4. (１)证明:△ABE ≌△DAF ； （２）若∠A ＧＢ=30°，求E Ｆ的长.【解析】(1）∵四边形AB ＣＤ是正方形, ∴AB=A Ｄ,在△ABE 和△D ＡF 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB ，∴△ＡＢE ≌△DAF.(2)∵四边形ABC Ｄ是正方形， ∴∠1+∠４＝90o ∵∠３=∠４, ∴∠1＋∠３=90o ∴∠ＡFD=9０o在正方形ABC Ｄ中， ＡＤ∥ＢC ， ∴∠1=∠ＡＧB=30ｏ在Rt △ＡD Ｆ中，∠AFD ＝90o A Ｄ=２ , ∴AF=3 , ＤF =1,由（1）得△ABE ≌△A ＤF, ∴AE ＝DF=１，∴EF=AF －AE=13-.2、如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F=⊥=∠于点，，平分交于点,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.【解析】（１）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、ABE ACD △≌△(写出其中的三对即可).(２)以△ADB ≌ADC 为例证明.证明：,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.在Ｒt ADB △和Rt ADC △中,,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.３、在△ABC 中,AB=CB,∠A ＢC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且A Ｅ=ＣF.(1)求证:R ｔ△ＡＢE ≌Rt △C ＢF ； (２)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.ACBDEF G 1423【解析】(1）∵∠ＡBC=90° ∴∠CBF=∠AB Ｅ=90°在Ｒt △ABE 和Rt △CBF 中∵AE=CF, AB=BC ∴Ｒｔ△ＡBE ≌R ｔ△CBF(H Ｌ)（2)∵AB=BC, ∠A ＢC ＝90° ∴ ∠CAB=∠ＡC B=45°∵∠BAE=∠CA Ｂ-∠CAE ＝4５°-30°=15°. 由（１）知 Rt △ＡＢE ≌Rt △CB Ｆ, ∴∠BCF ＝∠BAE=15°∴∠ACF=∠BCF+∠A ＣB=45°+1５°=６0° ４、已知:如图,点C 是线段ＡＢ的中点,CE ＝C Ｄ,∠ＡCD=∠BC Ｅ，求证:A Ｅ＝BD.题2０图 【解析】∵点C 是线段AB 的中点， ∴A Ｃ=ＢC ， ∵∠A ＣＤ=∠ＢCE,∴∠A ＣD+∠D ＣE=∠B ＣＥ＋∠DCE,即∠ACE=∠BCD,在△AC Ｅ和△BCD 中，AC BC ACE BCDCE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACE ≌△BCD （SAS ）, ∴ＡＥ=BD. 5、如图10,已知ADE Rt ABC Rt ∆≅∆,︒=∠=∠90ADE ABC ,BC 与DE 相交于点F ,连接EB CD ,.(１）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2)求证：EF CF=．【解析】 (1）ABE ADC ∆≅∆，EBF CDF ∆≅∆(2）证法一：连接CE∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆ ∴AE AC =∴AEC ACE ∠=∠ 又∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆∴AED ACB ∠=∠B CEF第22题图∴AED AEC ACB ACE ∠-∠=∠-∠即DEC BCE ∠=∠∴EF CF=证法二：∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆∴EAD CAB AB AD AE AC ∠=∠==,,,∴DAB EAD DAB CAB ∠-∠=∠-∠即EAB CAD ∠=∠ ∴)(SAS AEB ACD ∆≅∆∴ABE ADC EB CD∠=∠=,又∵ABC ADE ∠=∠∴EBF CDF∠=∠又∵BFE DFC ∠=∠ ∴)(AAD EBF CDF ∠≅∠∴EF CF=6、如图,点F 是CD 的中点,且AF ⊥CD ，ＢC =ＥD ,∠B ＣD =∠EDC . (1)求证:AB=AE ；（２)连接BE ，请指出B Ｅ与A Ｆ、B Ｅ与CD 分别有怎样的关系？（只需写出结论,不必证明). 【解析】（1)证明:联结A Ｃ、AD∵点Ｆ是CD 的中点,且ＡF ⊥C Ｄ，∴AC ＝AD∴∠AC Ｄ=∠ＡDC ∵∠ＢCD =∠EDC∴∠AC Ｂ＝∠ＡＤE ∵B Ｃ=ＤE,AC=AD ∴△ABC ≌△AED ∴AB=ＡＥ（2）ＢE ⊥AF,BE/／C Ｄ,AF 平分BE7、如图l ，已知正方形ABCD 的对角线A Ｃ、B Ｄ相交于点O ，E 是ＡＣ上一点,连结ＥB,过点A 作AM ⊥ＢE,垂足为Ｍ，AM 交BD 于点F. (1)求证:OE=OF ；(２)如图２，若点Ｅ在ＡC 的延长线上,A Ｍ⊥ＢE 于点M,交DB 的延长线于点F ，其它条件不变,则结论“O Ｅ=OF ”还成立吗？如果成立,请给出证明；如果不成立,请说明理由.图1F M O CDBAE图2FMOCDB AE【解析】(１)证明：∵四边形A ＢCD 是正方形．∴∠BO Ｅ=∠AOF ＝9０︒.O Ｂ＝O Ａ 又∵ＡM ⊥BE ，∴∠ME Ａ+∠MAE ＝9０︒＝∠ＡF Ｏ＋∠M ＡE∴∠MEA ＝∠AFOABCE∴Ｒt△BOE≌Ｒｔ△AＯＦ∴ＯE=ＯF(2)OＥ=OF成立证明：∵四边形ＡBCD是正方形，∴∠ＢＯE=∠ＡOF=90︒.OＢ＝OＡ又∵ＡM⊥BE,∴∠Ｆ+∠MBF＝90︒=∠Ｂ+∠OBE又∵∠MBF=∠ＯBE∴∠F＝∠E∴Rt△BOE≌Rt△AＯF∴OＥ＝ＯＦ８、如图1,点P、Q分别是边长为4cｍ的等边∆ABC边ＡB、ＢC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为１ｃｍ/ｓ，（1）连接ＡQ、CP交于点M，则在Ｐ、Ｑ运动的过程中，∠CＭQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变,则求出它的度数；（2）何时∆PBQ是直角三角形？（3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线ＡＢ、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠ＣMQ变化吗？若变化，则说明理由,若不变，则求出它的度数;【解析】(1）060=∠CMQ不变。
60=∠=∠=CAPBACAB，等边三角形中，又由条件得AＰ=BＱ，∴ABQ∆≌CAP∆（SAS)∴ACPBAQ∠=∠∴60=∠=∠+∠=∠+∠=∠BACCAMBAQCAMACPCMQ(2）设时间为t,则ＡB=ＢＱ=t，ＰB=4-t当34,24,2,609000==-=∴=∠=∠t ttBQPBBPQB得时，当2),4(22,2,609000=-==∴=∠=∠tttPQBQBBPQ得时，∴当第34秒或第2秒时，∆ＰBQ为直角三角形（３)0120=∠CMQ不变。
60=CAP≌又C图1MCQ PCB ∠=∠∴0120=∠=∠PBC CMQ９、如图:∆ACB 与∆ＤCE 是全等的两个直角三角形,其中∠A ＣB ＝∠ＤCE=９０0,ＡＣ=４，ＢC=2，点D 、C 、B 在同一条直线上,点E 在边A Ｃ上.(1)直线ＤE 与AB 有怎样的位置关系?请证明你的结论；(２）如图（1）若∆DCE 沿着直线D Ｂ向右平移多少距离时，点E 恰好落在边AB 上,求平移距离DD ，； (3）在∆D ＣE 沿着直线D Ｂ向右平移的过程中，使∆ＤC Ｅ与∆ＡCB 的公共部分是四边形,设平移过程中的平移距离为x ,这个四边形的面积为y ，求y 与x 的函数关系式,并写出它的定义域．【解析】解:（1)点 M(2）经过t 秒时,NB t =,2OM t= 则3CN t =-，42AM t =-∵BCA ∠＝MAQ ∠=45 ∴ 3QN CN t ==-∴1 PQ t =+∴11(42)(1)22AMQ S AM PQ t t ==-+△22t t =-++∴2219224S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∵02t ≤≤∴当12t =时,S 的值最大． （3)存在．设经过t 秒时,ＮB ＝t ，OM=2t 则3CN t =-，42AM t =-∴BCA ∠=MAQ ∠=45 ①若90AQM∠=,则PQ 是等腰Rt △MQA底边MA 上的高 ∴PQ是底边MA的中线∴12PQ AP MA ==∴11(42)2tt +=-∴12t = ∴点M 的坐标为（１，0）②若90QMA ∠=,此时QM 与QP 重合∴QM QP MA ==∴142t t +=-∴1t=∴点M 的坐标为(2，0)10、如图,,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥,BD DF ⊥，AE BF =,AC BD =。
求证：ACF BDE ∆≅∆。
DEABCD EA BC （1）D，DE AB C备用图【解析】AC CE ⊥,BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中AE BFAC BD =⎧⎨=⎩ﻩ ∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL)∴A B ∠=∠AE BF =∴AE EF BF EF -=-,即AF BE =在ACF ∆与BDE ∆中AF BE A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)11、如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点,且CD AB =，ADB BAD ∠=∠,AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
【解析】延长AE 至点F ,使EFAE =,连接DF在ABE ∆与FDE ∆中AE FE AEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE FDE ∆≅∆（SA Ｓ)∴B EDF ∠=∠ADF ADB EDF∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠又ADB BAD ∠=∠∴ADF ADC ∠=∠AB DF =,AB CD =∴DF DC =在ADF ∆与ADC ∆中AD ADADF ADC DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF ADC ∆≅∆(S ＡS) ∴AF AC =又2AF AE =∴2AC AE =。
12、已知：A Ｃ平分∠BAD ，C Ｅ⊥A Ｂ,∠Ｂ+∠D=１80°，求证:AE=AD ＋BEﻫ【解析】在AＥ上取Ｆ,使EＦ=EB，连接CF∵ＣＥ⊥AＢ∴∠CEB＝∠ＣＥF＝90°∵EＢ＝EF,ＣE＝ＣE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B+∠Ｄ=18０°，∠CＦＥ+∠ＣＦＡ＝１８０°∴∠Ｄ＝∠CFＡ∵AC平分∠BAD∴∠DAC=∠ＦAC∵ＡC=AＣ∴△ＡDC≌△AFC（SAS）∴AD=ＡF∴AE＝AF＋FE=AD＋BＥ。