一、 填空题(每题4分,共16分)
1.(4分) 级数1n n u ∞
=∑收敛的必要条件是 .
2. (4分) 交换二次积分的次序100(,)y
dy f x y dx ⎰⎰= .
3. (4分) 微分方程2442x y y y xe '''-+=的一个特解形式可以设为 .
4. (4分) 在极坐标系下的面积元素d σ= .
二、 选择题(每题4分,共16分)
1. (4分) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ).
A. (1,-1,2);
B. (-1,1,2);
C. (1,1,2);
D. (-1,-1,2).
2. (4分) 级数13
121(1)
n n n ∞-=-∑为（ ）.
A.绝对收敛;
B. 条件收敛;
C.发散;
D. 收敛性不确定.
3. (4分) 若∑是锥面222
x y z +=被平面0z =与1z =所截下的部分,则曲面积分22()x y dS ∑+=⎰⎰( ).
A.
1200d r rdr πθ⋅⎰⎰; B. 21200d r rdr πθ⋅⎰⎰;
C. 1200d r rdr πθ⋅⎰;
D.
21200d r rdr πθ⋅⎰. 4. (4分)
幂级数1(1)
n n n n ∞-=-∑的收敛半径为( ). A. 2;R = B.1;2R = C.3;R = D.1.3R =
三、 解答题(每题7分,共63分)
1．(7分) 设sin(),xy
z x y e =++求dz .
2． (7分) 计算三重积分,I xdxdydz Ω=⎰⎰⎰其中Ω为三个坐标面及平面
21x y z ++=所围成的闭区域.
3． (7分) 求(1)I y z dS ∑
=++⎰⎰,其中∑是平面5y z +=被圆柱面
2225x y +=截出的有限部分.
4． (7分) 求幂级数1(1)(1)n
n n x n ∞
=--∑的收敛域. 5． (7分) 将21()2f x x x
=--展开为麦克劳林级数. 6． (7分) 求曲线积分(sin )(cos 1)x x
L I e y y dx e y dy =-+-⎰,其中L 为22x y ax +=上从(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周.
7． (7分) 求微分方程24y xy x '+=在初始条件03x y ==下的特解.
8． (7分) 求曲面积分(1)(22)(33)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=+++++⎰⎰ ,
其中∑为曲面222
4x y z ++=的内侧.
9．(7分) 计算曲线积分()L I x y ds =+⎰,其中L 是以(0,0)O ,(1,0),(0,1)
A B 为顶点的三角形折线.
四、(5分) 试确定参数t 的值,使得在不含直线0y =上点的区域上,曲线积分
222222()()t t
C
x x y x x y I dx dy y y ++=-⎰与路径无关，其中C 是该区域上一条光滑曲线，并求出当C 从(1,1)A 到(0,2)B 时I 的值.
评 分 标 准
一、 1.lim 0;n n u →∞= 2.11
0(,);x dx f x y d y ⎰⎰
3.*222()x y x Ax Bx C e =++;
4..d rdrd σ=θ
二、 1. C; 2. A; 3.D. 4.D.
三、 1.解 c o s ()xy x z x y ye =++......................3 分
c o s ()xy
y z x
y xe =++ ......................3 分
[c o s ()][c o s ()x y x y d z x y y e d x x y x e d y =+++++......................7分 2.解 11122000x x y I dx dy xdz ---=⎰⎰
⎰......................3 分 11200(12)x xdx x y dy -=--⎰⎰......................5分
12301(2)4
x x x dx =-+⎰......................6分 148
=......................7分 3.解 :5z y ∑=-......................1分
22:25D x y +≤......................2分
(15D
I y y =++-⎰⎰ ......................4分
D
dxdy =......................6分
= ......................7分
4. 解 1R =............................................2分
当2x =时收敛...................... ......................4分 当0x =时发散......................6分
收敛域为(0,2]. ......................7分
5.解 21111231212x x x x ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+---⎛⎫⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
....................................2分 ()11316(1)2
x x =+-+...................... 3分 0011(1)362n n n n n x x ∞∞==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
∑∑...................................5分 10111(1)32n
n n n x ∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
∑ 6分 1x <......................7分
6.解sin x P e y y =-, cos 1x
Q e y =-......................1分 1Q P x y
∂∂-=∂∂............................................3分 由格林公式得D
I dxdy =⎰⎰............................................6分
221228
a a π⎛⎫==π ⎪⎝⎭......................7分 7.解()224xdx x y e C xe dx ⎰-=+⎰......................3分 222
[2()]x x e C e d x -=+⎰......................4分 2
2x Ce -=+......................5分 将03x y ==代入上式得 1C =......................6分
所求特解为22x y e -=+............................................7分
8.解 利用高斯公式得
6I dv Ω
=⎰⎰⎰............................................4分 4643
=⋅π⋅............................................6分 32=π ...................... ......................7分
9.解 ()()()O A O B B A
I x y d s x y d s x y d s =+++++
⎰⎰⎰ 101()2OA
x y ds xdx +==⎰⎰............................................2分 101()2OB
x y ds ydy +==⎰⎰............................................4分
1
0()(1BA x y ds x x +=+-⎰⎰分
1I ∴=分 四、 解 221
2222()(2)t P x x y ty x y y y
-∂+=⋅--∂......................1分
221
22222()()t Q x x y x y tx x y
-∂-+=⋅++∂............................................2分 令P Q y x
∂∂=∂∂可得22(21)()0t x y ++= 因为0,y ≠所以12
t =-............................................3分
因曲线积分与路径无关,故取从点(1,1)A 经点(0,1)D 到点(0,2)B 的折线积分
010I =+⎰............................................4分
1=分。