椭圆方程及几何性质【知识导图】知识讲解知识点1 椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.要点诠释：（1）若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.（2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.知识点2 椭圆的标准方程（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；要点诠释：（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.1F 2F 21212F F a PF PF >=+P 1212PF PF F F +=P 12F F 1212PF PF F F +<P x 12222=+b ya x )0(>>b a 222b ac -=y 12222=+bxa y )0(>>b a 222b ac -=0a b >>222b a c -=x (,0)c (,0)c -y (0,)c (0,)c -知识点3 椭圆的几何性质椭圆的的简单几何性质（1）范围：，，（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是且； 椭圆的的简单几何性质（1）范围：，，（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是 知识点4 椭圆12222=+b y a x 与)0(12222>>=+b a bx a y 的区别和联系12222=+by a x )0(>>b a }{a x a x ≤≤-{}y b y b -≤≤(,0)c ±(,0)a ±(0,)b ±a 22b 2c ce a=01e <<22221y x a b+=)0(>>b a {}y a y a -≤≤{}x b x b -≤≤(0,)c ±(0,)a ±(,0)b ±a 22b 2c 01ce e a=<<且要点诠释：椭圆12222=+b y a x ，12222=+bx a y )0(>>b a 的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有0>>b a 和)10(<<=e ace ，222c b a +=；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

例题解析【例题1】若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是_________________________________. 【例题2】椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A .(±3，0)B .(0，±3)C .(±9，0)D .(0，±9)【例题3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A .13B .12C .22D .223【例题4】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值范围.【例题5】已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B 点，F 点是左焦点，且AB BF ⊥，求椭圆的离心率.课堂练习基础1.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( ) A .椭圆B .双曲线C .抛物线D .圆2.已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是( ) A .2 3B .6C .4 3D .23.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 248＝1 B .x 248＋y 264＝1 C .x 248－y 264＝1D .x 264＋y 248＝1 巩固4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A .x 236＋y 232＝1B .x 29＋y 28＝1C .x 29＋y 25＝1D .x 216＋y 212＝1 5.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A .x 22＋y 2＝1B .x 23＋y 22＝1C .x 24＋y 23＝1D .x 25＋y 24＝1 6.已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A .8B .7C .6D .5拔高7.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且⊥PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C .3－12D .3－18.已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A .210－5 B .210－4 C .410－11 D .410－109.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝cb x 的对称点E 在椭圆C 上，则⊥OEF 的面积为( )A .12B .32C .1D .2达标训练基础1.椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距为2，则m 的值等于( )A .5B .3C .5或3D .82.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若⊥AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A .x 23＋y 2＝1B .x 23＋y 22＝1C .x 29＋y 24＝1D .x 29＋y 25＝1 3.已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 和上顶点B ，则椭圆C 的离心率为( ) A .12B . 2C .2D .22巩固4.已知椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于长轴的直线交椭圆于A ，B 两点，则⊥ABF 1内切圆的半径为( ) A .43B .1C .45D .345.已知椭圆x 24＋y 22＝1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|＝2，则△PF 1F 2的面积是( )A . 2B .2C .2 2D .36.已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－23)且a ＝2b ，则椭圆的标准方程为________.拔高7.设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若⊥F 2AB的面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为______________.8.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为M ，上顶点为N ，右焦点为F ，若NM →·NF →＝0，则椭圆的离心率为( ) A .32B .2－12C .3－12D .5－129.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，⊥PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<⊥PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,213 B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,213 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛121， D .⎪⎭⎫ ⎝⎛210，。