第八章 真空中的稳恒磁场一、 基本要求1．掌握磁感应强度的概念。

理解毕奥－萨伐尔定律。

能计算一些简单问题中的磁感应强度。

2．理解稳恒磁场的规律：磁场的高斯定理和安培环路定理。

理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。

3．理解安培定律和洛仑兹力公式。

了解磁矩的概念。

能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。

能分析点电荷在均匀电磁场（包括纯电场，纯磁场）中的受力和运动。

二、基本内容1. 基本概念：电流产生磁场，描述磁场的基本物理量——磁感应强度矢量，磁场线，磁通量，磁场对电流的作用。

2. 毕奥－萨伐尔定律电流元d l I 在空间某点激发的磁感应强度为：024d d r μπ⨯=l r B I其中，r 表示从电流元到该点的距离，0r 表示从电流元到该点的单位矢量。

从该定律可以直接得到在直电流的延长线和反向延长线上各点的磁感应强度为零。

它是求解磁场的基本规律，它从电流元的磁场出发，可得到计算线电流产生磁场的方法2()()4L L d d rμπ⨯==⎰⎰l r B B I应用上式在教材中导出了一些电流产生磁场的计算公式，包括：一段直电流在空间任意一点的磁场，无限长直载流导线在空间任意一点的磁场，圆电流在轴线上各点的磁场，一段载流圆弧在圆心处的磁场，圆电流在圆心处的磁场。

这些计算公式在求解问题时可以直接使用。

3. 磁场的叠加原理121nn i i ==+++=∑B B B B B该原理表明多个电流在空间某点产生的磁场，等于各电流单独存在时在该点处产生的磁场的矢量和。

将磁场的计算公式和叠加原理结合使用，可以求解多种电流在空间某点产生的磁场。

在计算中首先应该将复杂的电流分成计算公式已知的电流段，然后分段计算，最后求出矢量和。

对于电流连续分布的载流体，可以选择合适的电流元dI ，用已知公式求出电流元在所求点的磁场d B ，然后根据d B 的分布特点，建立合适的坐标系，求出各个磁场分量，最后求其矢量和。

4. 磁场中的高斯定理()0S d ⋅=⎰⎰B S该定理表明：磁场是无源场，磁场线是无头无尾的闭合曲线。

应用该定理求解均匀磁场中非闭合曲面的通量时，可以作平面，使平面和曲面形成闭合曲面，由于闭合曲面的通量为零，即曲面的通量等于平面通量的负值，从而达到以平代曲的目的。

5. 安培环路定理01Ni Li d I μ=⋅=∑⎰B l该定理表明：磁场是有旋场，磁场是非保守力场。

应用该定理时，首先应该注意穿过以L 为边界的任意曲面的电流的正负；其次应该知道环流为零，环路上各点的磁感应强度不一定为零。

在应用定理求解具有轴对称电流分布的磁场和均匀磁场的磁感应强度时，要根据电流的对称性和磁场的性质选择合适的环路L 。

6. 安培定律电流元在外磁场中受安培力为：d Id =⨯f l B其中，d f 的大小ϕsin IdlB df =，d f 方向由Id ⨯l B 确定。

该定律是计算磁场对电流的作用的基本定律。

一段载流导线在磁场中受到的安培力为：()()L L d Id ==⨯⎰⎰f f l B应用上式时，应该注意电流上各点的磁场是否均匀及磁力的分布特点。

如果电流上各点的磁场相等，并且是一段直电流，可以先求出导线上的磁场，然后用公式ϕsin BL I f =求出结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同但方向相同，可以先在电流上取一小线段d l ，求出d l 段电流所受的磁力，然后通过标量积分得结果；如果电流上各点所受的磁力的大小不同方向分布在一个平面上，可以先在电流上取一小线段d l ，求出d l 段电流所受的磁力，然后建立直角坐标，积分求出磁力分量，最后合成，求得电流所受到的磁场力。

8．载流线圈在磁场中受到的力矩m =⨯M P B式中0m IS =P n ，S 为线圈所围的面积，0n 为线圈面元法向的单位矢量，m P 称为载流线圈的磁矩，其数值为IS P m =。

若线圈为N 匝时，NIS P m =。

9．洛伦兹力运动电荷q 在外磁场中所受的洛伦兹力为：q =⨯f B v洛伦兹力的方由⨯B v 的方向和q 的正负决定。

当q 的为正时，洛伦兹力的方向与⨯B v 的方向相同；当q 的为负时，洛伦兹力的方向与⨯B v 的方向相反。

三、习题选解8-1 如图所示，一根无限长直导线通有 电流I ，但中部一段弯曲成圆弧形，圆 弧BEC 的曲率半径为R ，所对圆心角为120。

求图中圆心O 处的磁感应强度矢量的大小和方向。

题8-1图解：点O 的磁感应强度由直线AB ，CD 及圆弧BEC 三部分载流导线所产生。

0AB CD BEC =++B B B B由于对称性AB 和CD 在O 点产生的磁感应强度相等，方向均垂直纸面向里。

由教材（8.12式）得00(cos150cos180)0.674cos60AB CD IIB B R Rμμππ==-= 00(sin 90sin 60)0.0674cos60I IR Rμμππ=-=在BEC 圆弧上任取一电流元Id l 如图()a 所示，它在O 点产生的磁感应强度的方向也垂直于纸面向里，量值为θπμπθμπμd R IR IRd R Idl dB 44402020===导线BEC 在O 产生的磁感应强度12000002(0)4436BEC I I IB dB d R R Rμμμθπππ===-=⎰⎰题8-1()a 图000020.0670.216AB CD BEC I I IB B +B B R R Rμμμπ=+=⨯+= 方向垂直纸面向里。

8-2 有两个圆形线圈A A '和B B '，其平面相互正交，圆心重合的放置。

A A '线圈的半径cm R A 20=，共10匝，通以电流A 0.10；B B '线圈半径cm R B 10=，共20匝，通以电流A 0.5。

求公共圆心O 处的0B矢量。

解：线圈A A '在圆心O 处的磁感应强度T R I N B 41110110143.32-⨯==μ线圈B B '在圆心O 处的磁感应强度T R I N B 42220210285.62-⨯==μ故 T B B B 422211003.7-⨯=+=题8-2图0.2tan 12==B B θ 63.43θ=8-3 如图所示，有两根导线沿半径引向圆环电阻上的B A 、两点，并在很远处与电源相连。

求环中心的磁感应强度。

解：两根导线的延长线通过圆心O ，则在圆心O产生的磁感应强度为零，O 点的磁感应强度由AB 和AEB 两载流圆弧产生0AB AEB =+B B BIABI 1+I2E OR -I题8-3图010*******AB I Il B l R R R μμππ== 方向垂直纸面向里02224AEBIB l Rμπ= 方向垂直纸面向外 圆弧AB 和AEB 组成并联电路，电阻分别为1R 、2R ，则2211R I R I = 又 S l R 11ρ= Sl R 22ρ= 故 2211l I l I =O 点磁感应强度011222()04AB AEB B B B I l I l R μπ=-=-= 8-4 将一根导线做成n 边的多边形，多边形的外接圆半径为a ，设导线中有电流I ，求外接圆中心处的磁感应强度的大小。

解：对于n 边多边形，每一边b 在圆心产生的磁感应强度dB 的大小，方向都相同。

[])sin(sin 40θθπμ--=hIdB 0(sin sin )4Ihμθθπ=+ 002sin 22bI I h h aμμθππ== θπμπμtan 22200aI ah b I==题8-4图θπμtan 20anIndB B ==又 n πθ22=，nπθ= 故 )tan(20na nI B ππμ=8-5 如图所示，有一闭合回路由半径为a 和b 的两个同心共面半圆连接而成，其上均匀分布线密度为λ的电荷，当回路 以匀角速度ω绕过O 点垂直于回路平面的轴 转动时，求圆心O 点处的磁感应强度的大小。

解：小圆环带电λπa q =1，大圆环带电λπb q =2， 两环转动时相当于两圆电流1I 、2I题8-5图112q I πω=， 222q I πω= 在O 点产生的磁场分别为aI B 2101μ=， bI B 2202μ=ωλμλππωμ001414==a a B题8-5图44002ωλμλππωμ==b b B 在AB 段距O 点为l 处任取线元dl ，带电dl dq λ=,转动时线元相当于一圆电流dq dI πω2=,在O 点产生磁感应强度为 dl lldIdB πλωμμ42003==AB 段在O 点产生的磁场⎰===ba ba ab l dl l B ln 4)(ln 440003πλωμπλωμπλωμ同理CD 段在O 点产生的磁场abB ln 404πλωμ=2ln 2004321ωλμπλωμ+=+++=a b B B B B B 8-6 如图所示，在半径为1R 和2R 的两圆周 之间，有一总匝数为N 的均匀密绕平面螺旋线圈 通以电流I ，求线圈中心O 点处的磁感应强度。

解：均匀密绕平面螺旋电流可视作由许多圆题8-6图形电流所组成在距圆心O 为R 处取一圆电流dIdR R R NI dI )(12-=该圆电流在O 点产生的磁感应强度dBdR R R NR IdI RdB 120022-==μμ整个螺旋线圈在O 点产生的磁感应强度2100221211ln 2()2()R R NINI R dR B dB R R R R R R μμ===--⎰⎰B 的方向垂直纸面向外。

8-7 如图所示，两个共面的平面带电圆环，其内外环半径分别为1R 、2R 、3R ，外面的圆环以每秒2n 转的转速顺时针转动，里面圆环以每秒1n 转的转速反时针转动。

若电荷面密度都是σ，求1n 和2n 的比值多大时O 点处磁感应强度为零。

题8-7图解：均匀带电圆环可视作由许多均匀带电环带组成，任一环带所电量为dr r dq σπ2=。

当环带以每秒n 转旋转时，带电环形成圆电流ndq dI =，在O 产生磁感应强度为rdIdB 20μ=外圆环在O 产生磁场⎰⎰-===32)(2223202022R R R R n dr rn rdB B πσμσπμ内圆环在O 产生磁场⎰⎰-===)(221210101121R R n dr r n rdB B R R πσμσπμ12、B B 方向相反， 012=+B B B 。

若使O 点磁场为零，需21B B =则 122321R R R R n n --= 8-8 如图所示，一半径cm R 0.1=的无限长41圆柱形金属薄片，沿轴向通有A I 0.10=的电流，设电流在金属薄片上均匀分布，试求圆柱轴线上任意一点P 的磁感应强度。