求证 : 平面A1BD / /平面CB1D1
证明: 如图分别以D1A1、D1C1、D1D
三边所在的直线为x, y, z轴建立空间 A
直角坐标系.设正方体的棱长为1,
Z
DC
B
则A1(1, 0, 0), B1(1,1, 0), C(0, 0,1), D(0, 0,1) 则A1D (1, 0,1), B1C (1, 0,1)
FM
B
C
且FM AN.求证：MN / /平面EBC
N
证明: 在正方形ABCD与ABEF中, A
D
BE AB, FM AN , FB AC,
存在实数,使FM FB, AN AC.
MN MF FA AN BF EB AC
(BE BA AB AD) EB (BE AD) EB
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .
求证CD 平面BDM .
A
解:
D
如图,以C为原点建立空间直角坐标系.
B( 2,0,0), B1( 2,1,0), A1(0,1,1),
C
211 2
B
D( , , ), M ( ,1,0),
2 22 2
A1
C1
M
B1
CD (
2 2
,
1 2
,
1 2
),
A1B
D C B
C1
M
B1
A1B, DM为平面BDM内的两条相交直线,
CD 平面BDM .
18
课本p41练习 习题2-4
教后反思
19
l
m
l // ma // b a b
a ba
l //
l
u a u a u 0
u
v
// u // v u v
20
l
l m a b a b 0
A'
A'C AB ',求证：BC ' AB '
设底面边长为2,高为h, 如图建立空间直角坐标系.
坐பைடு நூலகம்法
C
B
A( 3,0,0), B(0,1,0),C(0,1,0).
A
A'( 3,0, h), B'(0,1, h),C'(0,1, h).
AB ' ( 3,1, h), A'C ( 3, 1, h), BC ' (0, 2, h) 0 AB ' • A'C 3 1 h2, h2 2.
(
2, 1, 1)，DM (0, 1 , 1), 217 2
作业：
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .
求证CD 平面BDM
A
A1
则CD • A1B 0, CD • DM 0. CD A1B,CD DM .
D1
B
C1
Y
在应用向量法时需要合理建 XA1
B1
立空间直角坐标系，方能减
少运算量。本题选用了坐标法。
9
（二）用向量处理垂直问题 Z
例3在正方体ABCD A' B 'C ' D '
中.E,F分别是CC ', BD的中点.
E
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图 取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴
D1
A1
B1
X
C1
Y
A1D // B1C.即直线A1D // B1C， 则A1D // 平面CB1D1.同理右证：A1B // 平面CB1D1. 平面A1BD // 平面CB1D1.
8
评注：
Z
由于三种平行关系可以相互
D
C
转化，所以本题可用逻辑推 A 理来证明。用向量法将逻辑 论证转化为问题的算法化，
AB ' • BC ' 0 2 h2 0. BC ' AB '
15
三、小结
利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来使用。
16
四.作业：
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的
a
b
l a
m l u a // u a u
v
u v uv 0
u
21
§4用向量讨论 垂直与平行
1
一、复习
1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为 向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形 问题）
2
2.平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l // m
a
//
b
a
b
线面平行 面面平行
l // //
au//
u v
a u
u 0
v
3
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
Y
F
建立空间直角坐标系,
X
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0)
10
Z
A' F (1,1, 2),
E
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
A' F • DB (1,1, 2) • (2, 2,0) 0,
F
(BE BC) BE ( 1)BE BC. 6
E
MN、BE、BC共面.
FM
B
M 平面EBC,MN // 平面EBC
N
C
A
D
评注：
向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是
存在实数对x,y使p=xa+yb.
利用共面向量定理可以证明线面平行问题。
本题用的就是向量法。
7
例2在正方形ABCD - A1B1C1D1中,
a
c
•b
1
2
C
B
BC'• AB' (c a b)•(b a)
A
(c a 2a b) • (b a) (2a b) • (b a)
2
2
22
2a a • b b 2a b 11 0
14
练习：
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
B'
C'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
Y
A' F • DE (1,1, 2) • (0, 2,1) 0
X
A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
11
Z
评注：
本题若用一般法证明，
容易证A’F垂直于BD，
E
而证A’F垂直于DE，
或证A’F垂直于EF则较难，
用建立空间坐标系的方法 能使问题化难为易。
（2）垂直关系
线线垂直 l m
线面垂直 l 面面垂直
a b a b 0
a// u a u
u v uv 0
4
二、新课
（一）用向量处理平行问题 （二）用向量处理垂直问题
5
（一）用向量处理平行问题
例1如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
F
Y
X
12
练习：
B' C'
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
A'
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
A'C AB ',求证：BC ' AB '
证明：设底面边长为1,
设a AA', b AB, c AC C
B
A
a • b 0, a • c 0, b • c 1/ 2.
A'C A' A AC c a AB' AB BB' b a
向量法
BC' BA AC CC' c a b
13
练习：
在三棱柱ABC A' B 'C '中，
底面是正三角形，AA' 底面ABC，
B'
C'
A'C AB ',求证：BC ' AB '
A'
0 A'C • AB ' (c a) • (b a)
2
c•b c•a a•b a
2