第6章磁流体力学不稳定性§ 6.1概论等离子体能够被磁场约束并处于力学平衡状态。
一个处于力学平衡状态的等离子体位形，当它受到某种扰动，偏离平衡态时，等离子体将如何反应？是越来越偏离平衡态，最后导致平衡态被破坏呢，还是很快将扰动抑制住回到平衡态. 前者是不稳定平衡，后者是稳定平衡.但当磁流体处在非热力学平衡态，其内部存在着可以转换成扰动能量的自由能时，在合适的条件下有些扰动就可能发展成为在大范围、长时间、能量超过热噪声水平的大幅度集体运动.这种集体运动就称为不稳定的模式，相应现象就称为磁流体的不稳定性.研究等离子体的各种不稳定性，阐明其物理机制，探索抑制不稳定性的方法，一直是受控核聚变研究的重要课题.磁约束等离子体可以处于力学平衡状态，但它不是完全的热力学平衡态.等离子体处于非热力学平衡状态意味着等离子体具有较高的自由能，因而必然会产生从较高能量状态过渡到较低能量状态的宏观或微观运动.等离子体偏离热力学平衡态大体有两类方式. 一类是等离子体宏观参数如密度、温度、压强或其它热力学量的空间局域性和不均匀性；另一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布. 由于前一种原因产生不稳定性时，等离子体通常以整体形式在空间改变其形状，因而称为宏观不稳定性。
由后一种原因产生的不稳定性称为微观不稳定性.宏观不稳定性通常用磁流体力学方程进行分析，因而也称为磁流体力学不稳定性，而微观不稳定性则用动力论方程进行分析，因而也叫动力学不稳定性.由于磁流体力学不稳定性在磁约束核聚变等离子体中具有更重要的地位，处理方法也相对地比较容易，因此本节仅讨论磁流体力学不稳定性.下面我们将首先从分析流体的瑞利一泰勒不稳定性（Rayleigh —Taylor in stability ）入手，这样做物理图像清晰，易于理解.然后讨论在分析磁流体力学不稳定性中得到广泛应用的能量原理. 在这基础上分析几种主要的宏观不稳定性，最后讨论等离子体电阻对不稳定性的影响.下面是几种典型的磁流体不稳定模式.例1 .瑞利一泰勒（Rayleigh-Taylor ）不稳定性（图4 . 1）；例2 .开尔文一亥姆霍兹（Kelvin —Helmholtz ）不稳定性（图4. 2）；例3.腊肠型不稳定性（图4. 3）;例4.弯曲型不稳定性（图4.4）;例5.磁岛（图4.5）;例6.磁重联（图4. 6）..I穷也1 玳利亠華勒不舷危性每种不稳定的扰动在其演化过程中都会依次经历下面三个阶段：线性阶段、非线性阶段及饱和阶段.在线性阶段，扰动的幅度较小，不同类型的扰动彼此之间并不相互作用，扰动对它所处的平衡态也无影响，这时扰动的幅度是随时间指数增长的.在非线性阶段，扰动幅度增大到会反过来使原有的平衡量作一定调整（因此改变了自己得以不稳定增长的初始条件，使馈入的自由能量减少），并达到开始和其他扰动模式相互作用（从而彼此间交换能量）的程度，从而使增长率木断下降.这时扰动幅度是依次随时间的不同幕次（一般是从高幕到低幕次）而增长的.当时间的幕次最后降低到零时，就达到了演化的终点一一扰动的幅度不再随时间增加，而一直保持极大值，这就是饱和.本章只讨论磁流体的线性不稳定性.线性不稳定性的基本描述方法（1）简正模法先将描述所研究对象的状态量写成平衡量（零级量）和扰动量（一级小量）之和，然后把它们代入所用的磁流体方程组，从中减去平衡方程并略去二级小量就得到了线性化的方程t）r i exp（ rA（,t）Ai k后可能出组.对这些方程作（时间）拉氏变换和（空间）傅氏变换k,现下列几种情况：（i）全部空间坐标都能进行傅氏变换.这样线性微分方程组就变成了线性的齐次代数方程组，的色散关系.例如上一章它的有非平凡解的条件（系数行列式为零）就给出了关于）k （中平板几何位形下的阿尔文波的色散关系正是由这种方式得到的.(ii)只有部分空间坐标能进行傅氏变换，剩余的坐标构成了约化的微分方程组.这时要设法的色散关系.例如上一章先得到它的通解，然后利用边条件或连接条件也可以得到)(k中，柱坐标下阿尔文波的色散关系就是这样求得的.(iii)所得出的约化微分方程如果是奇异的，如上一章中连续谱阿尔文波所满足的方程(2)能量原理(仅对理想磁流体适用)§ 6.2瑞利一泰勒不稳定性这是一种经典的流体不稳定性.因为这种不稳定性是由重力驱动的，故又称重力不稳定性•让我们来研究图3.25所示的一个容器.该容器内盛有两种不同质量密度的液体，上面的质量密度梯度两种流体之间有明显的分界线. 显然，液体质量密度大，下面的质量密度小.由下向上，受到的重力由上向下，用来表示.液体的平衡方程是G116 第四章磁流休力学不稳定曲(1) Ou) ( t ud ⑵G dt.现在是流体元的速度.流体达到平衡式中u Ou假定在交界面上出现了一个微扰动，其形式为ti i t e)(xe,u u (x)(3)10101)式代入平41表示扰动量.将(从这里开始，参数下标为 0表示平衡量，参数下标为，我们得到质量守恒方程3)衡方程(10 u (u))(5 0101t 0 u 表)式便得到在整理上式时，已考虑到流体是不可压缩的，)式代人(3.将()511达式：u 01 (6) —1 i 同样可以得到扰动后的 动量方程和的表达式：u 1du 1 (7) G 一 10dt 1 Gu (8) ----- 1 i 0将(6)式和(8)相结合使得到如下的方程：2 0 G . (9) 0 (9)式说明，当流体的密度梯度方向跟受到的重力方向相反时就会产生不稳定性， 此时2 ，这 就是说重流体在上面轻流体在下面的这种平衡是不稳定的. 只要有微扰(轻轻晃 0动)，就会破坏原来的平衡状态，直到达到另一种新的平衡态为止.这时重流 体在下，轻流体在上，正好跟原来交换了位置，所以这种不稳定性也叫做 交换不 稳定性.现在我们采用类比的方法来研究约束在磁场中的等离子体. 假定磁场与等离子体 之间达到了平衡，中间有明显的分界面.就是说在等离子体中没有磁场， 在磁场中没有等离子体.这 和磁场时，等离子体除了受到重力之外，还受到磁场的作用力，包括磁场梯度引起的力 B 2(b )mvb .当然这是指单个粒子受到的力，我 们把它们当作等效重力(跟的弯曲引起的力II G,,记作 流体情况作类比)e ff2 (b mv)b G B (10) ie ff 将2mvW B , b (b )2BB B W W W 代入上式并对整个麦 克斯韦速度分布函数积分，我们可以得到作为以及粒子能量I流体元的等效重力： BB P G ( 11) eff0BB .B 对干各向同性等离子体，，因此 P B B,PPG2 ------------------- || eff0BRB c因为在低情况下2RB C 2PR. 述瑞利一泰勒不稳9将（12）式代入（定性的方程 P22 0 R ） （13 1111这样，密度和流体速度便可写成: u u,u (4)e ) ( 12所以 ef R e0)式便得到描e R oeo R方向相上式说明，当磁场曲率与等离子体密度梯度eo ,就会产生不稳定性•这种不稳定性条反，即OR 0e件也可以表示为磁场梯度与等离子体密度梯度同向，即0 B ）所示•从图中可以看出，这（a•如图3.26o 坏曲时的磁力线是凹向等离子体的•这种曲率被称为“ R （或与等离子体压强梯度（b）画出了稳定的磁场位形.此时，磁场曲率”率•图3 .26P c ”）同向•磁力线凸向等离子体，这种磁场位形的曲率被称为“ 好曲率密度梯度.0?，曲率矢量在某个地方是“好曲率”也就是说，往往不断改变方向.在实际的磁场位形中，而在“咽喉”部位则，.如在简单磁镜场中，在中心部位是“坏曲率”在另一个地方则变成“坏曲率”因此，有必要引入“平均曲率”的概念.是“好曲率”. 的比值：与管内的磁通量定义：磁力线管的比容，它是磁力线管的几何体积UV ，，constSBSdlV Sdl dlB V Sdl ,—BB dlV U・・・B 平均曲率的定义为RB1 dldlldB :■ 2BBRBBBc l dl B B B dl BdlR c BOPR ，在聚变等离子体中，一般前面得到的稳定条件（好曲率）是曲率与同 向，即P c 都是中心密度大，即•这就相当于要求；因此稳定条件要求0 R O / r P P c 2V dl U 0 2 B 有极大值，其中必有磁场极小值，这相当于平为磁面包围的体积•因此，即其中））（VV （均磁阱•这说明位于磁阱的等 离子体是稳定的.与之相反，位于磁山“磁山”的等离子体是不稳定的，等离子体的能量原理 6.2 §不考虑离子和电子的效应，可将等离子体作为 单流体来处理。
采用理想磁流体力学方程组作为出发点(1) 0 u , tdu (2 )gB J p dt pd(3)0 .. dt 1 BJ) (4 0 B E(5 ).t)6 ( 0 B u E . 表示比热比。
设每一个变量均为平衡量和扰动量的叠加，即。
为简化其 中..…f ff 10起见，不考虑平衡流，即。
（如果可以讨论）则将方程（1） — （ 6） 线性化之后0u u 000可得关于一阶扰动量的微分方程组 1 (7)0u10t ud 1 )( 8 B J pJ B101001dtp 1 ) (9 p p u u0101t B1 ) (10Bu 0t 1 BJ (11) 11 0r E r 为一阶小量，则有的扰动位移令相对于流体元平衡位置00 （12）tru , 01 t 将上式分别代入方程（7）、（ 9）和（10）， 对时间积分，可将扰动密度、扰动压强和扰动磁场均用扰动位移来表示)01 p 001 B E B ）01将这些表达式代入方程（8）,并利用方程（11），则可得到关于扰动位移的二阶微分方程E 2 E (13(14)( 1511010 oo1 BB EEE p p0000 0 B E B ）（17 00E F 相当于由扰动位移所引起的作用在单位流体体积上的力。
在适当的边界条件显而易见，下解此方程，可以确定位形的稳定性。
•根据能量守恒原理，扰动位移引起的系统总能量的变化为零，即动能和势能的变化之和为零12 ）（18r E 0Wd —0 2将上式对时间微商可得d ）19 （r EE0 Wd0 . dt 的自伴性，即利用扰动方程（16）和函数E F ）（20rnEn FF E r dd可将方程（）中的第一项写成19d11 rrF EEEE r E F E rF EEE F E ）21（ d dd d0一dt22 19）可得扰动势能的变化则由方程（1 ）（22rE FE d W 2 2E FE /E F。