第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式()ji ij n i nj j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==1121称为n 元二次型或二次形式。

当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。

例：()3221213213x x x x x ,x ,x x Q +-=例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-=()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n nnn n n n n nn n n ji ij n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 212122221112112122211222222122111211221111121令()()TijTn A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q Tn = 21，称A 为二次型的矩阵。

()x x x x x x x ,x ,x x Q T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=02302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .()∑∑===n i nj j i ij n x x |A|A ,x ,,x x Q 1121矩阵的相合设n n ,β,,ββ,,α,,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即()()P ,α,,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为()()Tn Tn ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121==则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：x P y Py x 1-==或。

则()()()y AP P y APy Py Ax x αQ TT TT=== 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。

定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。

性质：（1） 自反性：A 与自身相合；（2） 对称性：若A 与B 相合，则B 与A 相合； （3） 传递性：若A 与B 相合，B 与C 相合，则A 与C相合；结论：若矩阵A 与B 相合，则r (A )=r (B )，且与对称矩阵相合的矩阵也是对称矩阵。

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200022022000140014400040004C ,B ,A 已知例 试判断A , B , C 中哪些矩阵相似，哪些矩阵合同。

()满足关系则例设B A B ,A ,,00000000000000041111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=（1）合同且相似； （2）合同但不相似； （3）不合同但相似； （4）不合同且不相似。

二次型的标准形定义：形如()nn n x d x d x d αQ +++= 222211的二次型称为二次型的标准形。

主轴化方法（正交变化法）（适用于实二次型）定理（主轴定理）：任一实二次型()TT A A Ax x αQ ==其中,，存在正交线性替换x =Py ，其中P 是正交矩阵，使得()αQ 化为标准形：()nn n y y y αQ λλλ+++= 222211，其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值。

用正交变换化实二次型为标准形的计算步骤： （1） 写出二次型的矩阵A （A 一定是实对称矩阵）； （2） 求矩阵A 的特征值，得n λλλ,,,21 ； （3） 求相应的特征向量；（4） 将特征向量作Schmidt 正交化，得到标准正交的特征向量；（5） 将这些向量按列排成矩阵，得到正交矩阵P ，这时有()n T AP P AP P λλλ,,,diag 211 ==-；（6） 写出可逆线性替换x =Py ，则有()nn n y y y αQ λλλ+++= 222211。

例：已知实二次型()()323121232221444x x x x x x x x x a αQ +++++=经正交变换x =Py 可化成标准形()216y αQ =，则a =？例：用主轴化方法将二次型()434232413121222222x x x x x x x x x x x x αQ ++--+=为标准形。

解：二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111101111011110A 其特征多项式为：()()311111*********+-=--------=-λλλλλλA λI 所以A 的特征值为()3121-==λ，三重根λ。

11=λ时，由()01=-x A I λ，求得三个线性无关的特征向量()()()T T T ,,,,,,,,,1001,0101,0011321-===ααα用施密特正交化方法求得三个标准正交向量为：TTT⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=123,121,121,1210,62,61,610,0,21,21321γγγ，， 32-=λ时，求得一个单位特征向量为T⎪⎭⎫⎝⎛--=21,21,21,214γ取正交矩阵： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=211230021121620211216121211216121P 则P T AP =diag(1,1,1,-3)T ,作正交变换x =Py ,得()()2423222133111y y y y y ,,,diag y APy P y Ax x αQ T T T T -++=-===配方法：（适用于任意二次型）例：用配方法将二次型()32312123222182252x x x x x x x x x αQ +++++=化为标准形。

()()()()()()()22211232323222323222123232322212323322584635Q αx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++-++++=+++++=++++-解:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=3213213332232111003101113x x x y y y xy x x y x x x y 即令Py y y y x x x yx y y x y y y x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=⇒32132133322321110031021132即作可逆线性替换x =Py ,得()2322215y y y APy P y Ax x αQ TTT-+===100111112110124013231145001111112100013013010005001005-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭例：用配方法将二次型()312142x x x x αQ +=化为标准形。

⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=32132133212211100011011y y y x x x yx y y x y y x 即解：令 ()()()()()()()()23223123322223132312221321212122222442242y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y αQ --+=+--+=++-=++-+=则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=32132133322311*********即z z z y y y yz y y z y y z 令 则()222122z z αQ -=为所求的标准形。

所作的坐标变换为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321321100211011100110101100011011100011011z z z z z z y y y x x x 定理：任意一个二次型都可以通过可逆线性替换化成标准形 矩阵的初等变换法定理：对每个实对称矩阵A ，存在初等矩阵s ,P ,,P P 21使得 ()n s T T Ts,d ,,d d P P AP P P P 212112diag =方法：先将二次型的对应矩阵A 写出，然后将单位矩阵写在A 的下面，构成一个()n n ⨯2阶矩阵，当列进行初等变换后，对行向量也进行相同的初等变换，则当A 变成对角阵时，I 就成了所作的变换矩阵。

例：用初等变换法将下列二次型()32312123222182252x x x x x x x x x αQ +++++=化为标准形。

()()()()()()2131332111100100124113013A 145134034I 100111111010010010001001001100100010010035005112112013013001001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪--→→⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝解：⎫⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭后，得到当作坐标变换令Py x P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=,100310211()2322215y y y αQ -+=即为标准形。

例：用初等变换法将下列二次型()xx αQ T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111112120化为标准形。

()()→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛↔10000101011110212110000101011112110210001000111111212012I A 解： 例：用初等变换法将下列二次型()xx αQ T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002001210化为标准形。

()()→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+10001100100200121210001100100200121110001000100200121012I A 解： 惯性定理和二次型的规范形设()Q α为复二次型，它的秩为r ，其标准形为2221122r r d y d y d y +++ 其中,0,1,2,i i d C d i r ∈≠=，令1,1,2,,,1,,.i i i i y z i r y z i r n ⎧==⎪⎨⎪==+⎩则()22212r Q z z z α=+++------规范形定理：任意一个复系数二次型总可以经过一个适当的可逆线性替换化为规范形，且规范形是唯一的。