圆锥曲线综合应用及光学性质（通用）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．二次曲线1422=+my x ，]1,2[--∈m 时，该曲线的离心率e 的取值范围是 （ ）A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[D ．]26,23[2．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）A ．))((2R n R m ++B ．))((R n R m ++C ．mnD ．2mn3．已知椭圆125222=+y ax )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ，且8||21=F F ，弦AB 过点1F ，则△2ABF 的周长为（ ） A ．10B ．20C ．241D ． 4144．已知椭圆的中心在原点，离心率21=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ）A ．13422=+y xB ．16822=+y x C ．1222=+y xD ．1422=+y x 5．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围（ ）A ．[－21，21] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4]6．以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（ ）A ．222=-y xB ．222=-x yC ．422=-y x 或422=-x y D ．222=-y x 或222=-x y7．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 （ ） A ．4a B ．2()a c - C ．2()a c + D ．以上答案均有可能8．过双曲线822=-y x 的右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么△F 1PQ 的周长为 （ ）A ．28B ．2814-C ．2814+D ．289．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点(,0)c -和(,0)c .若c 是,a m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项，则椭圆的离心率是 （ ）A ．12B ．14C ．22D ．3310．过抛物线2y ax =(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11p q+等于 （ ）A ．2aB ．12aC ．4aD ．4a11．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 （ ）A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．01232=-+y xD ．082=-+y x 12．设P(x , y) (x y ≠0)是曲线192522=+y x 上的点，F 1(－4,0 ) 、F 2(4,0), 则 （ ）A ．|F 1 P| + |F 2 P| <10B ．|F 1 P| + |F 2 P| >10C ．|F 1 P| + |F 2 P| ≥10D ．|F 1 P| + |F 2 P| ≤10二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．设中心在原点的椭圆与双曲线2222y x -=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 .14．设P 是曲线)1(42-=x y 上的一个动点，则点P 到点)1,0(的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为 .15．与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点（2，－3）的椭圆的标准方程是 . 16．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线过（a ，0）、（0，b ）两点，已知原点到直线L 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 ． 三、解答题（本大题共6题，共74分）17．（本题满分10分） 已知双曲线与椭圆125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为514，求双曲线方程.18．（本题满分10分）、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为338 的双曲线方程．19．（本题满分13分）．双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（－1，0）到直线l 的距离之和.54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围.20．（本题满分13分）设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是)0,(1c F -与)0(),0,(2>c c F ，且椭圆上存在一点P ，使得直线1PF 与2PF 垂直. （1）求实数m 的取值范围；（2）设L 是相应于焦点2F 的准线，直线2PF 与L 相交于点Q ，若3222-=PF QF ，求直线2PF 的方程.21．（本题满分14分）．给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点． （Ⅰ）设l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小；（Ⅱ）设AF FB λ=，若λ∈[4,9]，求l 在y 轴上截距的变化范围.．22．（本题满分14分）、抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0).一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如下图所示) （1）设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明：y 1²y 2=－p 2；（2）求抛物线的方程；（3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出 此点的坐标；若不存在，请说明理由.答案一．选择题 (本大题共12小题, 每小题5分, 共60分)题号123456789101112答案 C A D A C D D C A C D D7【解】⑴静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2()a c -，则选B ；⑵静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2()a c +，则选C ；⑶静放在点A 的小球（小球的半径不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A 。

于是三种情况均有可能，故选D 。

二．填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）13．1222=+y x 14. 5 15. 22186x y +=或223412525y x += 16. 2 三、解答题（本大题共6题，共74分）17．（本题满分10分）解:由于椭圆焦点为F(0,±4),离心率为e=45,所以双曲线的焦点为F(0,±4),离心率为2,从而c=4,a=2,b=23. 所以求双曲线方程为:221412y x -=. 18（本题满分10分）解:设双曲线方程为x 2-4y 2=λ.联立方程组得: 22x -4y =30x y λ⎧⎨--=⎩,消去y 得，3x 2－24x +(36+λ)=0设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A(11,x y ),B(22,x y )，那么：1212283632412(36)0x x x x λλ+=⎧⎪+⎪=⎨⎪∆=-+>⎪⎩ 那么：|AB|=2221212368(12)83(1)[()4](11)(84)333k x x x x λλ+-++-=+-⨯==解得: λ=4,所以，所求双曲线方程是：2214x y -=． 19．（本题满分13分）解：直线l 的方程为1=+bya x ，即 .0=-+ab ay bx 由点到直线的距离公式，且1>a ，得到点（1，0）到直线l 的距离221)1(ba ab d +-=，同理得到点（－1，0）到直线l 的距离222)1(ba ab d ++=.222221cabb a ab d d s =+=+= 由,542,54c c ab c s ≥≥得 即 .25222c a c a ≥- 于是得 .025254,2152422≤+-≥-e e e e 即解不等式，得.5452≤≤e 由于,01>>e 所以e 的取值范围是.525≤≤e 20．（本题满分13分）本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.解：（Ⅰ）由题设有.,0m c m => 设点P 的坐标为),,(00y x 由PF 1⊥PF 2，得,10000-=+⋅-cx y c x y 化简得 .2020m y x =+ ① 将①与112020=++y m x 联立，解得 .1,120220m y m m x =-= 由.1,01,0220≥≥-=>m mm x m 得 所以m 的取值范围是1≥m . （Ⅱ）准线L 的方程为.1mm x +=设点Q 的坐标为),(11y x ，则.11mm x += .1||||00122x m mmm x c c x PF QF --+=--= ②将 mm x 120-=代入②，化简得 .111||||2222-+=--=m m m m PF QF由题设32||||22-=PF QF ，得 3212-=-+m m ， 无解.将 mm x 120--=代入②，化简得 .111||||2222--=-+=m m m m PF QF由题设32||||22-=PF QF ，得 3212-=--m m .解得m=2. 从而2,22,2300=±=-=c y x ， 得到PF 2的方程 ).2)(23(--±=x y21．（本题满分14分）本小题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力．解：（Ⅰ）C 的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅⋅=OB OA OB OA OB OA所以OB OA 与夹角的大小为.41143arccos-π （Ⅱ）由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ 即⎩⎨⎧-=-==.1212),1(1y y x x λλ由②得21222y y λ=， ∵ ,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③① ②联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F （1，0），得直线l 方程为),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或 由,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--22．（本题满分14分）命题意图：对称问题是直线方程的又一个重要应用.本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了学生理解问题、分析问题、解决问题的能力。