解：由题意，得到的次品数X～B(2,0.05)，
P(X＝0)＝C20×0.952＝0.902 5； P(X＝1)＝C21×0.05×0.95＝0.095； P(X＝2)＝C22×0.052＝0.002 5. 因此，次品数X的分布列如下：
X＝k
0
1
2
P(X＝k) 0.902 5 0.095 0.002 5
[精解详析] (1)由题意X～B3，25， 则P(X＝0)＝C03250353＝12275， P(X＝1)＝C31251352＝15245， P(X＝2)＝C32252351＝13265， P(X＝3)＝C33253350＝1825.
(3分) (4分) (5分) (6分)
∴X的分布列为
X＝k
0
Байду номын сангаасP(X＝k)
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，出现“3个正面，1个
反面”的概率是
()
1
3
A.2
B.8
2
1
C.5
D.4
解析：由题意，出现正面的次数X～B4，12，
∴出现3个正面1个反面的概率为P(X＝3)＝C43×123×12＝14.
答案：D
2．甲每次投资获利的概率是p＝0.8，对他进行的6次相互独立 的投资，计算： (1)有5次获利的概率； (2)6次都获利的概率． 解：用X表示甲在6次投资中获利的次数，则X服从二项 分布B(6,0.8)，且 (1)P(X＝5)＝C560.85(1－0.8)≈0.39， 他5次获利的概率约等于0.39. (2)P(X＝6)＝C660.86≈0.26. 他6次都获利的概率约等于0.26.
1．各次试验互不影响，相互独立；每次试验只有两个可
能的结果，且这两个结果是对立的；两个结果在每次试验中发
生的概率不变，是判断随机变量服从二项分布的三个条件．
2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项Tk＋1＝C
k n
(1－
p)n－kpk，可见P(X＝k)＝C
k n
pk(1－p)n－k就是二项式[(1－p)＋p]n的
[一点通] 要判断n次试验中A发生的次数X是否服从二项分 布，关键是看试验是否为独立重复试验，独立重复试验的特点 为：
(1)每次试验是在相同的条件下进行的； (2)每次试验的结果不会受其他试验的影响，即每次试验是相 互独立的； (3)基本事件的概率可知，且每次试验保持不变； (4)每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生．
(1)P(X＝3)＝C33·0.63·(1－0.6)0＝0.216； 即全部活到70岁的概率为0.216. (2)P(X＝2)＝C23·0.62·(1－0.6)＝0.432. 即有2个活到70岁的概率为0.432. (3)P(X＝1)＝C13·0.6·(1－0.6)2＝0.288. 即有1个活到70岁的概率为0.288.
、
6．射击运动员在双向飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中
两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分．某
射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为
2 3
，
第二枪命中率为13，该运动员进行2轮比赛．
(1)求该运动员得4分的概率为多少？
(2)若该运动员所得分数为X，求X的分布列．
解：(1)记“运动员得4分”为事件A，
从而P(X＝2)＝C23452·15.
二项分布 进行n次试验，如果满足以下条件： (1)每次试验只有_两__个__相___互__对__立__的结果，可以分别称为 “成功”和“失败”； (2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为 _1_－__p__；
(3)各次试验是_相__互__独__立___的． 用X表示这n次试验中成功的次数，则 P(X＝k)＝__C_nk_p_k_(_1_－__p_)n_－_k_(k_＝__0_,_1_,2_，__…__，__n__) _． 若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n， p的二项分布，简记为_X__～__B_(_n_，__p_) ．
§4
第 二 章
二 项 分
布
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
考点一 考点二
§4
二项分布
某篮球运动员进行了3次投篮，假设每次投中的概率都为
4 5
，且各次投中与否是相互独立的，用X表示这3次投篮投中的
次数，思考下列问题．
问题1：如果将一次投篮看成做了一次试验，那么一共进
行了多少次试验？每次试验有几个可能的结果？
则P(A)＝23×13×23×13＝841.
(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝P(X＝4)＝841，
P(X＝1)＝P(X＝3)
＝C2123133＋C1213233＝2801，
P(X＝2)＝134＋234＋4232132＝3831.
∴X的分布列为
X＝k
01234
P(X＝k)
4 20 33 20 4 81 81 81 81 81
展开式中的第k＋1项．
应用创新演练见课时跟踪检测(十二)
＝C23232·13C03123＋C33233·C31123 ＝118＋19＝16.
服从二项分布的随机变量的分布列
[例2] (12分)从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假 设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 25，设X为途中遇到红灯的次数．求
(1)随机变量X的分布列； (2)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． [思路点拨] 求随机变量的分布列，首先应根据题目中的 条件确定离散型随机变量的取值，然后再求随机变量取各个 值的概率．
提示：3次，每次试验只有两个相对立的结果投中(成
功)，未投中(失败)．
问题2：X＝0表示何意义？求其概率．
提示：X＝0表示3次都没投中，只有C
0 3
＝1种情况，P(X＝0)
＝C03153.
问题3：X＝2呢？
提示：X＝2表示3次中有2次投中，有C
2 3
＝3种情况，每种情
况发生的可能性为452·15.
3．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为
1 2
，乙
每次击中目标的概率为23，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为C32123＝38. (2)乙至少击中目标2次的概率为 C3223213＋C33233＝2207. (3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次 且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好 击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件． P(A)＝P(B1)＋P(B2)
4．设某批电子手表正品率为34，次品率为14，现对该批电子手表进
行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于
()
A．C32142×34
B．C23342×14
C.142×34
D.342×14
解析：P(X＝3)是前两次未抽到正品，第三次抽到正品的概
率，则P(X＝3)＝142×34. 答案：C
5．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%.现从一批产品中 任意地连续取出2件，写出其中次品数X的分布列．
1．P(X＝k)＝C
k n
·pk(1－p)n－k.这里n为试验次数，p为每次
试验中成功的概率，k为n次试验中成功的次数．
2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其
一是对立性，即一次试验中，事件发生与否，二者必居其
一；其二是重复性，即试验重复地进行了n次；其三是各次
试验相互独立．
服从二项分布的随机变量的概率计算
[例1] 在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的 死亡率．假如每个投保人能活到70岁的概率为0.6，试问3个投 保人中：
(1)全部活到70岁的概率； (2)有2个活到70岁的概率； (3)有1个活到70岁的概率．
[思路点拨] 每人能否活到70岁是相互独立的，利用二项分 布公式可求．
[精解详析] 设3个投保人中活到70岁的人数为X，则X～ B(3,0.6)，故P(X＝k)＝C3k0.6k·(1－0.6)3－k(k＝0,1,2,3)．
27 125
1
2
3
54 36 8 125 125 125
(8分)
(2)由题意知，“至少遇到一次红灯”的对立事件是“一次红 灯都没有遇到”．因此有
P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－12275＝19285.
(12分)
[一点通] 解决这类问题一般步骤： (1)判断所述问题是否是相互独立试验；(2)建立二项分布模 型；(3)求出相应概率；(4)写出分布列．