u , v , w
x
y
z
则称 为热弹性位移势。
➢ 满足平衡方程的位移势必须满足
2 1 T
(1)
➢ 相应的应力解为
1
x
2G
2 y 2
z
1 E
[ z
( x
y )] T ,
xy
2(1
E
)
xy
yz
2(1
E
)
yz
zx
2(1
E
) zx
或
x 2G x ET /(1 2 ), xy G xy
y 2G y ET /(1 2 ), yz G yz
z 2G z ET /(1 2 ),
1 2 x
代替弹性问题中的体力fx
(x,
y,
z)，用
ET 1 2
l
(l, m, n)
代替弹性问题中的面力Fx (x, y, z)，则热弹性问题 可以用线性弹性问题的解法去求解。
热弹性问题的基本解法
➢ 应力解法——以应力为基本未知量，用应力表示 边界条件和协调方程，求得应力分量后，再计算 应变分量和位移分量。
变形协调条件，各层纤维的变形受到附近纤维的 约束，因此在板中将产生热应力。板的l >> c，且 温度与x无关，可做为一维问题，在板中仅有x方
向的应力x。
➢➢ 两端约束合力引起的应力
x
E
2c
c
T( y)dy
c
➢
两端约束弯矩引起的应力
x
3 yE
2c 3
c
T( y) ydy
x
e x
T x
0
y
e y
T y
0
由物理方程及平面应力问题性质（z = 0），有
x
1 E
x y
T 0
y
1 E
y x
T 0
x
y
1
1
ET
热弹性问题的基本解法
➢ 位移解法——以位移为基本未知量，用位移表示 物理方程、平衡方程和边界条件，求得位移分量 后，再计算应力分量。
➢ 要点——用 E T (x, y, z)
9－2 热弹性基本方程及解法
➢ 热传导基本概念
非定常温度场 = (x, y, z, t)
定常温度场 = (x, y, z)
热源强度
变温 热传导方程 变温分布 二维热传导方程
无源定常 温度场
2T 0
T
= - 0
2
r
/
c
T 2T r / c
比热
T
2T x 2
2T y 2
r
/
c
➢ 上述各式中，c为比热，即单位质量的物体升温一 度所需的热量；r为物体内热源的强度r = r(x, y, z, t)，即单位时间内单位质量的热源所产生的热量；
c
➢ 扳中的热应力为
x
ET( y)
E
2c
c
3 yE
T( y)dy
c
2c 3
c
T( y) ydy
c
➢ 若物体边界上没有位移约束及边界力，且不计体 力，则当物体内的变温为坐标的线性函数时，物 体内将不产生热应力。根据叠加原理，在自由边 界的物体中，不计体力，在原来的温度场上叠加 一个线性分布的温度场，则不会改变物体的应力 分布，而物体的的变形将会发生变化。
【例2】周边自由的等厚度薄板，且l >> c， 沿板的厚度温度均匀，而沿高度有不均匀 温 度 变 化 ， 即 T=T(y) ， 试 求 板 中 的 热 应 力 。
➢ 【解】该薄板属一个自由边界间题，即不存在外 部约束。由于温度沿y向有不均匀的温度变化，在 x方向上各层纤维将产生不同的长度变化，为满足
T = - E T
热应力问题特点与条件
➢ 杆件中的热应力护与弹性模量E，热膨胀系
数以及温度变化T成正比。在小温度的情 况下，E与随温度的变化可以忽略，结构
的热应力随温度变化而增加，这是一般热 应力间题的特点。
➢ 在求解中，仍然包括该问题物理、几何与 平衡三个方面的条件，这是求解热弹性力 学问题应满足的条件，其中物理关系既包 括线弹性的虎克定律，又包括温度变化引 起的变形。
➢ 两个方面的计算：(1)由问题的初始条件、边界条 件，按热传导方程求解结构的温度场（变温）。 (2)按热弹性力学的基本方程求解结构的热应力。
➢ 假设：各向同性、弹性、小变形、小变温，变温 与变形可独立计算。
9－1 简单热应力问题
➢ 【例1】两端固定的杆件受热
【例1】长度为l、横截面为A的杆件，两端被固定在 两个刚性壁之间，杆件材料的热膨胀系数为，
➢ 要点——用
E T (x, y, z)
1 2 x
代替弹性问题中的体力fx
(x,
y,
z)，用
ET 1 2
l
(l, m, n)
代可替以弹用性线问性题弹中性的问面题力的F解x 法(x去, y求, z解)，，则得热到弹~性ij 问，题再
由
ij
~ij
ij
ET 1 2
求得ij。
热弹性位移势
➢ 引进一个函数 (x, y, z)，使得
zx
G zx
➢边界条件
【例】周边固支的矩形薄板，材料的热膨胀
系数为，弹性系数为E，泊桑比为，当薄
板温度升高T 时，求板中热应力。
【解】平板的四周被固定，升温时在x和y方向上的 热膨胀均被限制住，因此板中将产生热应力，且 为双向应力状态。由于平板固支，每个微元体在x 和y方向均不会产生变形，即有（不考虑外荷载）
为导温系数，且 = k/c，k为导热系数，为物
体材料的密度，2为拉普拉斯算子
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
T 为变温的时间微分（偏导数）
T T t
热弹性基本方程
➢ 平衡方程、几何方程（同弹性问题）
➢ 物理方程
x
1 E
[ x
( y
z )] T ,
y
1 E
[
y
( z
x )] T ,
弹性系数为E，杆件的温度由T1增加至T2，求杆中 的热应力。
【解】温度由T1升至T2因膨胀而产生的杆件伸长为
lT = l(T2-T1) = lT
➢ 温度升高，杆件受到压力 PT的作用，由 PT产生的 杆件的缩短为
l p
PT l EA
➢ 由杆长不变(lT + lp= 0)，得 PT = EAT。
➢ 因此，杆件的热应力为
第9章 热应力
第9章 热应力
1. 简单热应力问题 2. 热弹性基本方程及解法 3. 平面热弹性问题 4. 厚壁圆筒的热应力 5. 厚壁圆球壳的热应力* 6. 板中的热应力* 7. 形变条件下热塑性物理方程
基本概念
➢ 热应力——当结构或构件在一定温度条件下工作 时，温度的变化导致材料的膨胀或收缩，若外部 的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不 能自由发生时，结构中就会出现附加的应力。这 种因温度变化（通常简称变温）而引起的应力称 为热应力，或温度应力。