必修五——线性规划无数个最优解问题、乘1问题
答案和解析
【答案】
1.D
2.A
3.C
4.C
5.A
6.B
7.D
8.B
9.C 10.B 11.B
【解析】
1. 解：作出不等式组{x +y ≥1
x −y ≥−12x −y ≤2
表示的平面区域，
得到如图的△ABC 及其内部，其中A （1，0），B （0，1），C
（3，4）
设z =F （x ，y ）=ax +by （a ＞0，b ＞0），将直线l ：z =ax +by
进行平移，
当l 经过点C 时，目标函数z 达到最大值
∴z 最大值=F （3，4）=3a +4b =7，可得17（3a +4b ）=1因此，3a +4b =17
（3a +4b ）（3a +4b ）=17（25+12b a +12a
b ）
∵12b
a +12a
b ≥2√12b
a ⋅12a
b =24∴17（25+24）≥17×49=7，
即当且仅当a =b =1时，3a +4b 的最小值为7故选：D
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z =ax +by 对应的直线进行平移，可得当x =3，y =4时，z 最大值为3a +4b =7．然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当a =b =1时，3a +4
b 的最小值为7．
本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z =ax +by 最大值为7的情况下求3a +4b 的最小值．着重考查了运用基本不等式求最值和简单的线性规划等知识，属于中档题．
2. 解：满足约束条件{x +y −4＜0y ≥x x ≥0的可行域如下图所示
∵y−5x−1表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率
又∵k PA =5−41−0=1，k PB =5−22−1=-3，
∴y−5x−1的范围是（-∞，-3）∪（1，+∞）
故选A
画出满足约束条件的可行域，分析目标函数的几何意义，数形结合即可分析出目标函数的取值范围．
本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中分析出目标函数的几何意义是表示可行域内一点（x ，y ）与P （1，5）连线的斜率是解答的关键．
3. 解：由约束条件{y ≥0
y −x +1≤0y −2x +4≥0作出可行域如图，
由z =y -ax （a ≠0），得y =ax +z ，
∵a ≠0，
∴要使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个，
a 不能为负值，当a ＞0时，直线y =ax +z 与线段AC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最大值的最优解有无数个；
直线y =ax +z 与线段BC 所在直线重合时，使z =y -ax 取得最小值的最优解有无数个．
综上，要使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个，则a =1或2．
故选：C ．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合可行域即可看出使z =y -ax （a ≠0）取得的最优解（x ，y ）有无数个的a 值．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
4. 解：依题意，满足已知条件的三角形如下图示：
令z =0，可得直线x +my =0的斜率为-1m ， 结合可行域可知当直线x +my =0与直线AC 平行时，
线段AC 上的任意一点都可使目标函数z =x +my 取得最小值，
而直线AC 的斜率为1−33−1=-1，
所以-1m =-1，解得m =1，
故选C ．
增加网友的解法，相当巧妙值得体会！请看：
依题意，1+3m =5+2m ＜3+m ，或1+3m =3+m ＜5+2m ，或3+m =5+2m ＜1+3m 解得m ∈空集，或m =1，或m ∈空集，
所以m =1，选C ．
评析：此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴，区域的三个顶点中一定有两个顶点的坐标是最优解，故此两点处函数值相等，小于第三个顶点处的目标函数值，本题略去了判断最优解取到位置的判断，用三个不等式概括了三种情况，从而解出参数的范围，此方法可以在此类求参数的题中推广，具有一般性！
将目标函数z =x +my 化成斜截式方程后得：y =-1m x +1m z ，若m ＞0时，目标函数值Z 与直线族：y =-1m x +1m z 截距同号，当直线族y =-1m x +1m z 的斜率与直线AC 的斜率相等时，目标函数z =x +my 取得最小值的最优解有无数多个；若m ＜0时，目标函数值Z 与直线族：y =-1m x +1m z 截距异号，当直线族y =-1m x +1m z 的斜率与直线BC 的斜率相等时，目标函数z =x +my 取得最小值的最优解有无数多个，但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个，不满足条件． 目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式；②分析Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反；③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．
5. 解：由题意，使目标函数Z=ax -y （a ＞0）取得最大值，而y =ax -z
即在Y 轴上的截距最小；
所以最优解应在线段AC 上取到，故ax -y =0应与直线AC 平行．
∵k AC =3−14−1=23，
∴a =23，
故选：A ．
由题设条件，目标函数Z=ax -y （a ＞0），取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在
∴1a +2b =（1a +2b ）（2a +b ）=4+b a +
4a b ≥4+2√b a ⋅4a b =8，
当且仅当b =2a =12时，取等号，
∴1a +2b 的最小值为8． 故选B ．
由约束条件作出可行域，并找出目标函数取得最大值时的条件，进而利用基本不等式的性质即可求出．
本题考查线性规划的有关内容及基本不等式的运用，确定2a +b =1，正确运用基本不等式是关键．
9. 解：由题意，z =mx +y （m ＞0）在平面区域内取得最大值的
最优解有无数多个，
最优解应在线段AC 上取到，故mx +y =0应与直线AC 平行
∵k AC =3−22
5
5−1
=-720， ∴-m =-720，
∴m =7
20，
故选C ．
目标函数Z=mx +y ，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上，目标函数的截距取得最大值，故最大值应在左上方边界AC 上取到，即mx +y =0应与直线AC 平行；进而计算可得m 的值．
本题考查线性规划的应用，目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z 与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．
10. 解：满足约束条件{y −2x ≤0
2y −x ≥0x +y −3≤0.
的平面区域如图
示：
因为z =mx +y 在平面区域上取得最小值的最优解有无
穷多个，
所以m =12．
只有过点（0，0）时，z =mx +y 有最小值0．
故选 B ．
先有z =mx +y 在平面区域{y −2x ≤02y −x ≥0x +y −3≤0.
上取得最小值的最优解有无穷多个找出m =12．再把
对应的平面区域画出，借助与图形找到此时z 的最小值即可．
本题考查的知识点是简单线性规划的应用．在取得最值的最优解有无穷多个时，目标函数通常与线性约束条件中的某一条线平行．
11. 解：作出不等式组{3x −y −2≤0
x −y ≥0x ≥0，y ≥0
对应的平面
区域如图：
由z =ax +by （a ＞0，b ＞0）得y =-a b x +z b ， 则直线的斜率k =-a b ＜0，截距最大时，z 也最大．
平移直y =-a b x +z b ，由图象可知当直线y =-a b x +z b ，经
过点A 时，
直线y =-a b x +z b ，的截距最大，此时z 最大，
由{3x −y −2=0x −y =0
，解得{x =1y =1， 即A （1，1），
此时z =a +b =2，
即12(a +b)=1，
∴1a +1b =（1a +1b ）（
a+b 2）=1+12(b a +a b )≥2， 当且仅当a b =b a ，即a =b =1时取等号，此时m =2，
y =sin （mx +π3）=sin （2x +π3）的图象向右平移π6后的表达式为：y =sin [2（x -π6）+π3]=sin 2x ． 故选：B ．
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z 取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．同时考查三角函数的图象的平移变换．。