第一章 有理数§1.1 正数和负数知识点一：正数和负数的概念正数就是我们在小学学习的除0外的所有的数，负数就是在正数前面加上一个“－”号的数。

说明：1、0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。

2、正数有时也可以在前面加“＋”（正）号，有时“＋”（正）号省略不写。

【例】下列各数中哪些是正数？哪些是负数？-2，0.5，+27，0，-3.14，160，-531. 知识点二：用正负数可以表示具有相反意义的量相反意义的量的正负性是相对的，且是可以互换的。

【例】如果向北走85米记作+85米，那么向南走70米记作 。

知识规律小结：1、区分正负数要根据正负数的概念，也可以根据符号区别，如果一个数的符号为“-”，则该数为负数；如果一个数的符号为“+”或没有符号，则该数为正数。

2、0既不是正数，也不是负数。

3、非正数：负数和零。

4、非负数：正数和零。

拓展：向东走-6米实际上就是向 走 米。

易错：零的意义是什么？（零是正数与负数的分界，不仅仅表示没有，也表示实际意义。

如收支0元，表示收入与支出平衡。

正数集 正整数集 非负数集 负分数集A§1.2 有理数第一课时 有理数 数轴知识点一：有理数的有关概念整数和分数统称有理数。

正整数、零、负整数统称整数。

正分数、负分数统称分数。

说明：1、有时可以把整数看作分母是1的分数。

2、因为有限小数、无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数、无限循环小数都是有理数。

3、因为圆周率π是无限不循环小数，不能化成分数，所以圆周率π不是有理数。

4、引入负数后，数的范围扩大到了有理数，所以在整数和分数中不要忘记都有负数。

5、奇数和偶数也扩展到了负数。

知识点二：有理数的分类按整数、分数分类： 按正负性分类：说明：1、正整数和零，即自然数，称为非负整数，负整数和零称为非正整数。

2、前者是按除法的性质分类，后者是按减法的性质分类。

知识点三：数集的概念把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。

说明：1、数集可以用大括号表示，也可以用圆圈表示。

2、一个数集内不能有两个一样的数。

3、一个数集内有无限多时，要用“…”号。

4、所有有理数组成的数集叫有理数集；所有整数组成的数集叫整数集；所有正数组成的数集叫正数集；所有正整数和零组成的数集叫自然数集，也叫非负整数集。

【例1】把-31，6，-6.5，0，-127，313，-7.210，0.03·1·，-43，-5%填入相应的数集内。

【例2】在有理数中，是整数而不是正数的数是 ，是负数而不是分数的数是 。

拓展：有A={3，2，0，4}、B={5，6，-5，0，2}、C={-5，0，4，-2}三个数集，请把这些数填入对应的三个圆圈内。

知识点四：数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

如图：说明：1、数轴是一条直线，可以向两方无限延伸，画出的部分两边不要描点，以免画成射线或线段。

2、原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，一般取右为正方向，箭头画在最右端。

知识点五：数轴的画法。

1、画一条水平的直线。

2、在直线上适当选取一点为原点。

3、确定向右为正方向，用箭头表示出来。

4、根据需要选取适当长度为单位长度，从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点，依次标数。

说明：三要素缺一不可，数轴是一条直线，不要画成射线或线段，单位长度一定要一致。

知识点六：数轴上的点与有理数之间的关系。

1、所有的有理数都可以在数轴上的点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数。

如π可以在数轴上表示，但π不是有理数。

2、正数可以用原点右边的点表示，反过来原点右边的点表示正数；负数可以用原点左边的点表示，反过来原点左边的点表示负数；0可以用原点表示，反过来原点表示0。

3、零是正数和负数的分界点。

【例1】在数轴上画出表示下列各数的点4，-3，-1.5，314，0，0.5 【例2】如图，比较a ，-a ，b ，-b ，0的大小，并用“〈”连接。

拓展：已知a 为整数，且-1﹤a ﹤3，则a= 。

§1.2 有理数第二课时 相反数知识点一：相反数的概念相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

零的相反数是零本身。

相反数的几何意义：在数轴上，位于原点两旁并且到原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数。

说明：1、相反数总是成对出现的，只能两个数互为相反数，对一个数而言是谈不上互为相反数的。

2、只有是指除符号不同外，其他完全相同。

3、-a 与a 互为相反数，a 的相反数是-a ，-a 的相反数是a 。

【例】分别写出下列各数的相反数。

-3，2，4.5，0，316知识点二：多重符号的化简方法一个数前面是正号，可以把正号去掉；一个正数前面有偶数个负号，可以把负号一起去掉；一个正数前面有奇数个负号，则化简负号只剩一个负号。

【例】化简下列各数-（-5） -（+2） -[-（-6）] +[-（-5）]§1.2 有理数第三课时 绝对值知识点一：绝对值几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。

代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

□注 绝对值等于它本身的是正数与零，易漏掉零；绝对值等于它的相反数的数的负数与零，易漏掉零。

说明：1、0既可以看作0本身，也可以看作是它的相反数。

2、数a 的绝对值3、无论是绝对值的几何意义，还是绝对值的代数意义，都揭示了一个绝对值的重要意义——非负性，即|a|≥0，也就是绝对值的最小值是0。

【例1】求下列各数的绝对值（略）【例2】化简： |32|- |)213(|+- |)5.6(|--- |)]31([|+-+ 知识点二：有理数大小的比较比较有理数的大小的方法有两种：1、利用数轴直观比较有理数的大小：数轴上右边的数总比左边的数大。

2、利用绝对值的知识比较有理数的大小：⑴正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

⑵两个负数，绝对值大的反而小。

说明：在数轴上比较有理数大小比较直观，一目了然，但比较麻烦；而绝对值比较有理数大小比较方便，一般都采用。

【例3】比较大小： 4332--和 31125.1--和 综合应用：1、已知X 是整数，且3﹤X ≤5，则X= 。

2、已知|m ＋2|＋|n －3|=0,求m 、n 的值。

3、化简：|X －3| |X ＋2|＋|X －5|4、数a,b,c 在数轴上的位置如图，化简||||||c c b b a a ++§1.3 有理数的加减法第一课时 有理数的加法知识点一：有理数的加法法则法则1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

法则2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两数相加得0。

法则3、一个数同0相加，仍得这个数。

说明：1、一个有理数由符号和绝对值两部分组成，法则1、2就是分别确定了和的符号和绝对值。

2、互为相反数的两数相加得0，反之，如果两数的和为0，那么这两个数互为相反数。

3、加法法则的第一步是确定和的符号，第二步是确定和的绝对值。

□注 进行有理数的加法运算时，首先要确定用哪一条法则。

【例1】)315()216(++- 知识点二：有理数加法的运算律1、交换律：有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。

2、结合律：有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

说明：1、符号相同的或分母相同的先相加。

2、相加得0的或相加得整数的先相加。

□注 运算符号和性质符号要分开，如3－（-4）中前一个“－”是运算符号，后一个“-”是性质符号。

【例2】)711()5.0()76()213(++-+++- 【例3】125.0)813(75.0)431(+-++- §1.3 有理数的加减法第二课时 有理数的减法知识点一：有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即a －b=a ＋(-b)说明：在有理数减法中，利用相反数，减法可转化成加法。

【例1】)614()312(+-- 知识点一：有理数的加减混合运算的步骤、1、把有理数的减法运算统一成加法运算。

2、根据需要写成省略加号和括号的代数和的形式。

3、灵活运用有理数加法法则和加法运算律进行正确的、简便的计算。

说明：1、统一加法后，括号和加号可以省略。

2、也可以利用符号化简直接简写。

3、读法：－20＋7＋5－3读作“负20、正7、正5、负3”，或“负20加7加5减3”【例2】)974()615()922()612(+--++-+ 【例3】－3＋5－7＋91－18综合应用：1、－1＋2－3＋4－5＋6－ … －99＋1002、（-78）＋（-77）＋（-76）＋（-75）＋ … ＋（+99）＋（+100）3、对于整数a 、b 、c 、d ，符号bd ac c d b a -=||，已知1﹤|41|d b ﹤3， 则b ＋d 的值是 。

§1.4 有理数的乘除法第一课时 有理数的乘法知识点一：有理数的乘法法则法则1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

法则2、任何数同零相乘都得零。

法则3、几个不是零的数相乘，负因数的个数是偶数个时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

法则4、几个数相乘，如果其中有因数为0，则积等于0。

说明：1、有理数乘法，要先根据负因数的个数确定符号，再把绝对值相乘。

2、在运算中要把小数化为分数，带分数化成假分数，便于约分。

【例1】 （-2）×（-5） 3221⨯- 【例2】 1.2×（541-）×（-2.5）×（73-） 知识点二：有理数的运算律乘法交换律、结合律、乘法分配律仍适用于有理数乘法。

【例3】（-25）×39×（-4） -17×)1713(- 726799×（-36） )21(75212)75()75(213-⨯-⨯---⨯ 知识点三：项、项的系数、合并含有相同字母的项项：在含有字母的和的形式中，每个加数就是一项。

项的系数：在字母与数字的乘积中，数字因数就是项的系数。

合并含有相同字母的项的法则：只需将它们的系数相加，作为结果的系数，再乘以字母因式，即ax+bx=(a+b)x ，其中x 为字母因数，a,b 分别为ax,bx 的系数。

□注 合并含有相同字母的项时要找准项民以及项的系数，千万别漏掉项的符号，不同字母的项不能合并。

【例4】 5x －2x a a a 814121++ 综合应用：1、若a b ﹤0,-b ﹥0,且|a|﹥|b|,则a ＋b 0.(填上“﹥”“﹤”或“=”)2、已知a,b,c 为三个不等于0的数，且满足abc ﹥0,a ＋b ＋c ﹤0，求cc b b a a ||||||++的值.3、已知a,b,c 为三个均不等于0的有理数，化简abcabc ca ca bc bc ab ab c c b b a a ||||||||||||||++++++。