第3章[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]直线的倾斜角与斜率【例1】(1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．[解](1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求．直线l1的斜率k1＝tan α1＝tan 30°＝33.∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴直线l2的斜率k2＝tan 120°＝－ 3.(2)由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即5－y 1x 2－2＝1－53－x 2＝1，解得x 2＝7，y 1＝0.求直线的倾斜角与斜率注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x 轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k 为负值且逐渐变大．[跟进训练]1．(1)若三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一直线上，则实数b 等于________．(2)如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．(1)－9 (2)30° [(1)∵A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC . ∴b －1－2－3＝11－18－3，即b ＝－9. (2)因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.]直线五种形式的方程的应用【例2】 已知△ABC 中，A (1，3)，AB ，AC 边上中线方程分别为x －2y ＋1＝0和y －1＝0，求△ABC 各边所在的直线方程.思路探究：本题利用中线的特殊点(即AB 的中点D 在AB 边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．[解] 设AB ，AC 边的中线分别为CD ，BE ，其中D ，E 为中点， ∵点B 在中线y －1＝0上， ∴设点B 的坐标为(x B ，1).∵点D 为AB 的中点，又点A 的坐标为(1，3)， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ＋12，2.∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上， ∴x B ＋12－2×2＋1＝0，∴x B ＝5. ∴点B 的坐标为(5，1).∵点C 在直线x －2y ＋1＝0上， ∴设点C 的坐标为(2t －1，t ). ∴AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t ＋32. ∵点E 在中线BE ：y ＝1上， ∴t ＋32＝1，∴t ＝－1. ∴点C 的坐标为(－3，－1)，∴△ABC 各边所在直线的方程为AB ：x ＋2y －7＝0，BC ：x －4y －1＝0，AC ：x－y ＋2＝0.求直线方程的方法(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．[跟进训练]2．过点P (－1，0)，Q (0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．[解] (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2k . 由题意得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋2k ＝1，即k ＝1.则直线的方程为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2， 即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0综上可知，所求的直线方程为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.两条直线的位置关系【例3】 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直； (2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0. 即a 2－a －b ＝0，① 又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a ，∴l 1的斜率也存在，a b ＝1－a ，即b ＝a 1－a .故l 1和l 2的方程可分别表示为 l 1：(a －1)x ＋y ＋4（a －1）a ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋a1－a＝0. ∵原点到l 1与l 2的距离相等，∴4⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1－a ，解得a ＝2或a ＝23. 因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2.两条直线的位置关系的判断方法及注意点(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．[跟进训练]3．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值． [解] (1)若l 1∥l 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－2×1＝0，a （a 2－1）－6×1≠0.∴a ＝－1.∴a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)当l 2的斜率不存在时，a ＝1. 则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0. 显然l 1与l 2不垂直． 当l 2斜率存在时，a ≠1. 则k 2＝11－a，k 1＝－a2. ∵l 1⊥l 2， ∴k 1·k 2＝11－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1. ∴a ＝23.距离公式的应用【例4】 已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．[解] (1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x ＋y －5＋λ(x －2y )＝0, 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝12或λ＝2. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，过P 作任一直线l (图略)，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立).所以d max ＝|P A |＝10.距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离． (2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．[跟进训练]4．若P 、Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95 B ．185 C ．2910 D ．295C [因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.]对称问题 [探究问题]1．怎样求点关于点的对称点？[提示] 设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解． 2．怎样求点关于直线的对称点坐标？[提示] 设出所求点坐标(x, y )，利用中点坐标公式建立关于x, y 的第一个方程，再利用垂直关系建立x, y 的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．【例5】 光线通过点A (2, 3)，在直线l ：x ＋y ＋1＝0上反射，反射光线经过点B (1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．[解] 设点A (2，3)关于直线l 的对称点为A ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 02＋3＋y 02＋1＝0，y 0－3x 0－2＝1.解之得，A ′(－4，－3).由于反射光线经过点A ′(－4，－3)和B (1，1)，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)·1＋31＋4，即4x－5y＋1＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x－5y＋1＝0，x＋y＋1＝0，得反射点P⎝⎛⎭⎪⎫－23，－13.所以入射光线所在直线的方程为y－3＝(x－2)·3＋132＋23，即5x－4y＋2＝0.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0；4x－5y＋1＝0.1．点关于直线对称的点的求法点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点M(x，y)可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y－y0x－x0·⎝⎛⎭⎪⎫－AB＝－1（AB≠0）A·x＋x02＋B·y＋y02＋C＝0求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．[跟进训练]5．已知A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上，若|P A |＋|PB |取最小值，求点P 的坐标．[解] 点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，连线A ′B 与直线x ＋y ＝0的交点，即为所求的点，直线A ′B 的方程为y ＋3＝－2＋35－1(x －1)，即y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立得x ＝135，y ＝－135.故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.。