其中Γ是曲 从z轴正向看去Γ的方向是顺时针方向.
一、斯托克斯公式
解法1
令x=cos θ,y=sin θ，则 z=2－x+y=2－cos θ+sin θ，
所以
一、斯托克斯公式
解法2
设Σ是平面x－y+z=2上以Γ为边界的有限部分，其法向量与z轴 正向的夹角为钝角，Dxy为Σ在xOy面上的投影域.由斯托克斯公式得
斯托克斯公 式环
流量与旋度
一、斯托克斯公式
平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域 上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示，沿空 间封闭曲面的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的 三重积分之间的关系可用高斯公式来表示，而斯托克 斯公式则建立了沿空间曲面Σ的曲面积分与沿Σ的边界 曲线Γ的曲线积分之间向量T是向量 场A在点M的旋度，记为rot A(M),则
二、向量场的环流量与旋度
利用向量微分算子Δ，向量场A的旋度rot A可表示为Δ×A，即
二、向量场的环流量与旋度
旋度具有下列性质： (1)Δ×CA=CΔ×A(C为常数). (2)Δ×(A+B)=Δ×A+Δ×B. (3)Δ×uA=uΔ×A+Δu×A(u为数量函数). (4)Δ·(Δ×A)=0. (5)Δ×Δu=0(u为数量函数).
由两类曲线积分的联系，环流量又可表达为
二、向量场的环流量与旋度
在向量场A中任取一点M，过点M作一平面π，在平面π 上任取一包围点M的光滑闭曲线Γ，取Γ的方向与平面π的法向 量n符合右手规则，Γ所围区域D的面积记为S(D),则 表示向量场A沿平面曲线Γ绕n旋转的平均环量.
二、向量场的环流量与旋度
【例3】
求向量场
沿曲线
（从z轴的正方向看去，L为逆时针方向）的
环流量.
解 L的参数方程为
二、向量场的环流量与旋度
于是
在π上令Γ收缩到点M,若 存在，则称此极限值为向量场A在点M处沿n方向的方向旋量.
由斯托克斯公式及积分中值定理可知
二、向量场的环流量与旋度
其中
因此,如果记向量
则
这个式子表明，左端的极限值等于向量T在
一、斯托克斯公式
在给出斯托克斯公式之前，先对有向曲面Σ的侧与 其边界曲线Γ满足右手法则规定如下：当右手除拇指外 的四指依Γ的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ上法向 量的指向相同，这时称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线.
一、斯托克斯公式
定理
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光 滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数P （x,y,z）,Q （x,y,z）,R （x,y,z）在曲面Σ（连同边界Γ）上具有 一阶连续偏导数，则有
由第二类曲线积分的定义及格林公式,有
一、斯托克斯公式
又有向曲面Σ的法向量的方向余弦为
因此
故
即 （10-19）
一、斯托克斯公式
比较式(10-18)和式(10-19)，可知式(10-17)成立. 如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式(10-17) 两端同时改变符号，因此式(10-17)仍成立. 同样可证
一、斯托克斯公式
【例2】
求
其中Γ是曲线 从z轴正向看去Γ的方向是逆时针方向.
解 设Σ是曲面x2+y2=2z上以Γ为边界的有限部分，Σ的 单位法向量为 其法向量与z轴正向的夹角为锐角，由斯托克斯公式得
一、斯托克斯公式
二、向量场的环流量与旋度
设有向量场
其中函数P,Q,R均连续，Γ是A的定义域内的一条分段光滑的 有向闭曲线，τ是Γ在点x,y,z处的单位切向量，则积分 称为向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量.
二、向量场的环流量与旋度
斯托克斯公式可写为
斯托克斯公式表明,向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量等于向 量场A的旋度场通过Γ所张的曲面Σ的流量，这里Γ和Σ的正向符合 右手规则.
二、向量场的环流量与旋度
【例4】
求向量场 解
的旋度.
谢谢聆听
（10-16）
一、斯托克斯公式
公式(10-16)称为斯托克斯公式. 斯托克斯公式还可写为
其中n=cos αi+cos βj+cos γk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位 法向量.
一、斯托克斯公式
根据两类曲面积分间的关系，有
（10-18）
一、斯托克斯公式
证明
先证明 （10-17）
假定Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点，并设Σ为 曲面z=f（ x,y ）的上侧，Σ的正向边界曲线Γ在xOy面上的 投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为Dxy.
（10-20） （10-21）
一、斯托克斯公式
将式(10-17)、式(10-20)和式(10-21)相加即得公式 (10-16).
若曲面与平行于z轴的直线交点多于一个，则可用一些 光滑曲线把Σ分成若干小块，使每小块能用这种形式来表示， 因而这时式(10-16)也成立.
一、斯托克斯公式
【例1】
求 线