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第四章 矢量代数与空间解析几何
微积分二大纲要求
了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图
形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影.
会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、
垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程.
理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法，
平面方程和直线方程及其求法.
第一节 矢量代数
一、内容精要 （一） 基本概念 1.矢量的概念
定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。

长度为1的矢量称为单位矢量。

定义4.2两个矢量a 与b
，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a .
换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。

k a j a i a a
3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a 称为坐标式。

.||2
32221a a a a 若,0 a 记|
|0a a a。

知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a 。

因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a
方向一致的单位矢量0
a ，则
.||0a a a
若},{321a a a a ，知
},cos ,cos ,{cos },
,
{
2
3
2
22
13
2
3
2
22
12
2
3
2
22
11
0 a a a a a a a a a a a a a
其中 ..是a
分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而
,cos ,cos ,cos 2
3
2
22
13
2
3
2
22
12
3
3
22211
a a a a a a a a a a a a
且.1cos cos cos 2
2
2
2.矢量间的运算
设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a
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).0||,0|(|||||cos ),0(cos |||| b a b a b
a b a b a
.cos ,
2
3
22212
3
2
22
13
32211332211b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a
a a a a a a a a 知,0cos 2
b a 的确定（1）,sin |||||| b a b a （2）b a 与b a
,所确定的平面0,0||,||,( b a b a b a b a 即知若，方向可任意确定）垂直，且b a b a
,,构成右手系若
c b a ,, 用坐标式给出，则
k a b b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a
)()()(2121133123323
21321
由行列式的性质可知.a b b a
b a 的几何意义：b a
表示以b a ,为邻边的平行四边形 的面积，即.||sin ||||||s h a b a b a
容易知道以b a
,为邻边的三角形面积为
||2
1b a s .
容易验证
.||||||2
222b a b a b a
3
2
13213
21)(c c c b b b a a a c b a
c b a
)(的性质可用行列式的性质来记，其余没有提到的性质与以前代数运算性质完全相同。

c b a )(的几何意义 |)(|c b a 表示以c b a
,,为邻边的平行六面体的体积，即
cos |||||)(|c b a c b a
.||cos ||||v sh h b a c b a
b a
b
a
图4-1
b
a h
sin ||b h
图4-2
图4-3
c
b 图4-4
c。